Lagrangien libre
Répondre à la discussion
Affichage des résultats 1 à 18 sur 18

Lagrangien libre



  1. #1
    invite8415a75d

    Lagrangien libre


    ------

    Bonjour à tous,

    Je suis bloqué depuis quelques heures sur le Lagrangien d'un système physique libre ! En effet en partant des équations d'Euler-Lagrange, j'essaye de trouver la formule de l'énergie cinétique, j'ai pourtant essayé en partant de l'identité de Beltrami, en intégrant, en substituant des termes... Rien à faire, au final je n'obtient pas la formule voulu et plus étrange encore quand, je remplace dans l'équation d'Euler Lagrange le lagrangien par l'énergie cinétique, je ne tombe pas sur 0 !

    Merci d'avance

    -----

  2. #2
    invited9422e7e

    Re : Lagrangien libre

    Salut,

    pouvez-vous nous donner le lagrangien que vous avez posé? et nous décrire brièvement le système.

  3. #3
    invite8415a75d

    Re : Lagrangien libre

    Bonjour Pianno, merci de répondre !

    Alors enfaite le système physique est quelconque, juste comme seule contrainte, il doit être libre.
    Pour ce qui est du Lagrangien, c'est justement l'énérgie cinétique que je cherche ! (classique quoi)
    Et j'essaye de le trouver en partant de l"équation d'Euler-Lagrange, qui permet de retrouver les équations du mouvement.

    Ainsi, si vous avez une "démonstration" a me conseiller, cela m'arrangerait pour voir mon erreur car je ne peux pas exposé ici tout les calculs, en effet pour résoudre les équations d'euler-Lagrange, il y a pas mal de méthodes et j'en essayé beaucoup, toujours en arrivant ver un mv^2/4 (ou 3...) donc c'est proche mais pas cela !

  4. #4
    invited9422e7e

    Re : Lagrangien libre

    Avez-vous résout l'équation suivante ?


  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invited9422e7e

    Re : Lagrangien libre

    Par définition même de l'énergie cinétique, L ne peut pas dépendre de r. Mais on ne peut pas obtenir l'expression de l'énergie cinétique à partir de cette équation mais seulement sa dépendance selon la vitesse.
    Vous devriez utiliser le principe fondamentale de la dynamique à un moment ou un autre. La seule hypothèse qui peut permettre de démontrer F=ma est le principe de moindre action. J'ai déjà essayé de le retrouver (il y a 2 ou 3 ans), mais j'ai lâché l'affaire.

  7. #6
    invite8415a75d

    Re : Lagrangien libre

    Non je pars de :
    DL/Dx - d/dt(DL/Dx' ) = 0 (lire d rond pour les D )

    Ce qui correspond à un terme près à votre équation

  8. #7
    invite8415a75d

    Re : Lagrangien libre

    Ah j'avais pas vu votre message !
    Oui en effet j'utilise le PFD sachant que ma = 0 et je l'introduis dans l'équation de Euler-Lagrange !
    Par contre je ne savais pas que l'énérgie cinétique ne dépendait pas de la position d'où mon erreur peut être !
    Pourtant si on a une énérgie cinétique non constante, l'énérgie sera différente selon la position ?

  9. #8
    invited9422e7e

    Re : Lagrangien libre

    Oui, parce que par définition, l'énergie cinétique est censé dépendre seulement de la vitesse.
    C'est une énergie, une quantité, qui représente seulement le mouvement de la particule. Pour une particule libre, le mouvement est constant (pas d'interaction) et ceci quelque soit ses coordonnées.

  10. #9
    invite8415a75d

    Re : Lagrangien libre

    Oui j'avais compris pour l'identité de Beltrami = constance de l'énérgie mécanique car le Lagrangien ne dépend pas du temps mais pour un système libre j'avais pas pensé à la non dépendance de la position, mais c'est vraie que la vitesse, à l'égard de ce que l'on croit, ne dépend pas de x(t) mais de x(t+dt) - x(t) !

    Au final, je retrouve bien ( et aisément contrairement à mes pages de calculs ! ) le Lagrangien du systeme physique libre ! Merci grandement pianno !

    Dernière question, alors comment trouver le Lagrangien d'un système physique non libre en partant des équations l'Euler-Lagrange ? Car là on prend en compte tout les paramètres ou on peut omettre le temps ?

  11. #10
    invited9422e7e

    Re : Lagrangien libre

    Tu veux savoir comment trouver le lagrangien, sachant que tu as l'équation du système ?
    Si oui, alors tu essaies de revenir sous la forme générique des équations d'Euler-Lagrange. Mais le lagrangien sert à calculer l'équation du mouvement, donc si tu l'as déjà ça ne sert à rien de chercher le lagrangien.
    Le lagrangien se pose à la main, c'est à travers la construction du lagrangien que le physicien exprime tout son talent. Le reste n'est que calcul. Il faut bien poser le lagrangien du système.

  12. #11
    invite8415a75d

    Re : Lagrangien libre

    Non enfaite je cherche à trouver le lagrangien qui est égale à énérgie cinétique - énérgie potentielle ! en partant encore des équations d'Euler-Lagrange

  13. #12
    invited9422e7e

    Re : Lagrangien libre

    est une définition.

    En fait, l'équation d'Euler-Lagrange n'est qu'un cas particulier d'une équation encore plus générale. Cette équations "générale" (je ne connais pas le nom exacte, je pense pas qu'elle en ait) se résume à Euler-Lagrange pour les systèmes conservateur. Dans Euler-Lagrange n'intervient qu'une seule quantité qui est T-V et nous la définissons comme étant la fonction de Lagrange. ça n'a rien de fondamentale.

    Mais essaie de voir cette équation "générale".

  14. #13
    invited9b9018b

    Re : Lagrangien libre

    Bonjour,

    ON peut bricoler un peu pour arriver à L = T pour une particule libre, aveec le raisonnement suivant, proposé dans le landau de mécanique classique :

    On considère un système constitué d'une particule isolée dans un référentiel galiléen : son lagrangien a pour forme .
    Pour une particule libre, le lagrangien ne peut dépendre de la position (puisqu'elle ne "voit" aucune autre particule dans l'univers, elle peut être n'importe où, cela n'aura aucun effet)
    De même, le lagrangien ne peut dépendre explicitement du temps (il ne se passe rien autour d'elle, et le référentiel est galiléen)
    Enfin, le lagrangien ne peut dépendre la direction de la particule, parce que l'espace vide est isotrope (et comme une particule libre n'interagit pas, elle ne voit rien d'autre que de "l'espace libre") ; et donc on peut exprimer le lagrangien uniquement en fonction de la norme de la vitesse, et pas de sa direction

    Donc finalement on peut écrire :


    On considère maintenant un second référentiel galiléen dans laquelle la vitesse de la particule est et on note son lagrangien dans ce référentiel.
    Puisque les deux référentiels sont galiléens ils sont en mouvement rectiligne uniforme l'un dans l'autre et est constant.

    De plus, les équations du mouvements ne doivent pas être différentes dans les deux cas puisque tous les référentiels galiléens sont équivalents
    Pour cela il suffit que les lagrangiens dans chaque référentiel ne diffèrent que d'une dérivée temporelle fonction du temps (et des positions) (démonstration en spoiler), cest à dire qu'il existe g telle que :


     Cliquez pour afficher


    On développe alors

    Au premier ordre il faut donc que le terme proportionnel à soit la dérivée par rapport au temps d'une certaine fonction. Ceci requiert que ce terme soit linéaire en et donc que soit constant et donc que ou K est une constante.

    Donc : .

    Comme les solutions des équations d'euler lagrange ne changent pas par la transformation , le choix de K est abritraire. Le facteur ne prend de l'importance que si un terme est ajouté dans le lagrangien. C'est pour cela que la masse n'apparait pas dans cette expression.

    A+
    Dernière modification par albanxiii ; 22/07/2015 à 08h54. Motif: à la demande de l'auteur

  15. #14
    invited9b9018b

    Re : Lagrangien libre

    Re,

    Si un modérateur peut éditer mon précédent message :
    "Pour cela il suffit que les lagrangiens dans chaque référentiel ne diffèrent que d'une dérivée temporelle fonction du temps (et des positions) (démonstration en spoiler), cest à dire qu'il existe g telle que :


    Merci

    A+

    modération : c'est fait, si je me suis trompé, dites le moi par MP
    Dernière modification par albanxiii ; 22/07/2015 à 08h55.

  16. #15
    invite8415a75d

    Re : Lagrangien libre

    Merci pour vos réponses constructives, en effet j'avais vu l'équation d'Euler-Lagrange généralisée dans le cadre de relativité générale mais qu'on peu construire aussi dans le cadre classique en partant de l'abscisse curviligne, je pense que je réponds donc à ma question !
    Merci pour la démonstration aussi, elle est cool, je m'y intéresserai demain

    Dernière question un peu hors sujet mais bon :
    http://www.sciences.ch/htmlfr/cosmol...vistegen01.php
    à la formule 50.127, pourquoi le changement d'indice ne se fait pas sur toute la formule ?

  17. #16
    invited9b9018b

    Re : Lagrangien libre

    J'imagine que la question est "pourquoi cela est il correct";

    les deux termes de l'intégrande sont complètement indépendants, ils peuvent être séparés en deux sommes différentes et rien empeche de changer les indices de sommation d'une somme et pas l'autre.

    A+

  18. #17
    invited9422e7e

    Re : Lagrangien libre

    Dans l'intégrale, il y a deux sommes et dans les notations d'Einstein, on peut utiliser deux indices même les deux termes sont indépendants.
    Par exemple,


    et on peut très écrire que


    La somme est la même, et parfois, mettre le même indice permet de retrouver certaines symétries dans l'équation et donc des simplifications.

  19. #18
    invite8415a75d

    Re : Lagrangien libre

    Eh bien merci à vous deux, maintenant c'est clair, oui c'est ce que je pensais avec l'indépendance des sommes !
    Merci encore, je pense que vous avez répondu à toute mes questions !

Discussions similaires

  1. Lagrangien particule libre relativité
    Par invite1a299084 dans le forum Physique
    Réponses: 4
    Dernier message: 01/11/2014, 23h02
  2. flexion poutre libre libre
    Par invitebf3ad86c dans le forum Physique
    Réponses: 2
    Dernier message: 08/06/2010, 22h01
  3. Réponses: 8
    Dernier message: 13/04/2009, 17h29
  4. [MPSI] (Math'Sup) : Algèbre - Famille Libre / Partie Libre
    Par invite61e7873c dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 4
    Dernier message: 04/03/2009, 12h29
  5. Modéle du boson libre/fermion libre
    Par invite2730a42f dans le forum Physique
    Réponses: 1
    Dernier message: 02/02/2008, 16h54