Lagrangien libre

[Antoniuum]

Bonjour à tous,

Je suis bloqué depuis quelques heures sur le Lagrangien d'un système physique libre ! En effet en partant des équations d'Euler-Lagrange, j'essaye de trouver la formule de l'énergie cinétique, j'ai pourtant essayé en partant de l'identité de Beltrami, en intégrant, en substituant des termes... Rien à faire, au final je n'obtient pas la formule voulu et plus étrange encore quand, je remplace dans l'équation d'Euler Lagrange le lagrangien par l'énergie cinétique, je ne tombe pas sur 0 !

Merci d'avance
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[pianno]

Salut,

pouvez-vous nous donner le lagrangien que vous avez posé? et nous décrire brièvement le système.

[Antoniuum]

Bonjour Pianno, merci de répondre !

Alors enfaite le système physique est quelconque, juste comme seule contrainte, il doit être libre.
Pour ce qui est du Lagrangien, c'est justement l'énérgie cinétique que je cherche ! (classique quoi)
Et j'essaye de le trouver en partant de l"équation d'Euler-Lagrange, qui permet de retrouver les équations du mouvement.

Ainsi, si vous avez une "démonstration" a me conseiller, cela m'arrangerait pour voir mon erreur car je ne peux pas exposé ici tout les calculs, en effet pour résoudre les équations d'euler-Lagrange, il y a pas mal de méthodes et j'en essayé beaucoup, toujours en arrivant ver un mv^2/4 (ou 3...) donc c'est proche mais pas cela !

[pianno]

Avez-vous résout l'équation suivante ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[pianno]

Par définition même de l'énergie cinétique, L ne peut pas dépendre de r. Mais on ne peut pas obtenir l'expression de l'énergie cinétique à partir de cette équation mais seulement sa dépendance selon la vitesse.
Vous devriez utiliser le principe fondamentale de la dynamique à un moment ou un autre. La seule hypothèse qui peut permettre de démontrer F=ma est le principe de moindre action. J'ai déjà essayé de le retrouver (il y a 2 ou 3 ans), mais j'ai lâché l'affaire.

[Antoniuum]

Non je pars de :
DL/Dx - d/dt(DL/Dx' ) = 0 (lire d rond pour les D )

Ce qui correspond à un terme près à votre équation

[Antoniuum]

Ah j'avais pas vu votre message !
Oui en effet j'utilise le PFD sachant que ma = 0 et je l'introduis dans l'équation de Euler-Lagrange !
Par contre je ne savais pas que l'énérgie cinétique ne dépendait pas de la position d'où mon erreur peut être !
Pourtant si on a une énérgie cinétique non constante, l'énérgie sera différente selon la position ?

[pianno]

Oui, parce que par définition, l'énergie cinétique est censé dépendre seulement de la vitesse.
C'est une énergie, une quantité, qui représente seulement le mouvement de la particule. Pour une particule libre, le mouvement est constant (pas d'interaction) et ceci quelque soit ses coordonnées.

[Antoniuum]

Oui j'avais compris pour l'identité de Beltrami = constance de l'énérgie mécanique car le Lagrangien ne dépend pas du temps mais pour un système libre j'avais pas pensé à la non dépendance de la position, mais c'est vraie que la vitesse, à l'égard de ce que l'on croit, ne dépend pas de x(t) mais de x(t+dt) - x(t) !

Au final, je retrouve bien ( et aisément contrairement à mes pages de calculs ! ) le Lagrangien du systeme physique libre ! Merci grandement pianno !

Dernière question, alors comment trouver le Lagrangien d'un système physique non libre en partant des équations l'Euler-Lagrange ? Car là on prend en compte tout les paramètres ou on peut omettre le temps ?

[pianno]

Tu veux savoir comment trouver le lagrangien, sachant que tu as l'équation du système ?
Si oui, alors tu essaies de revenir sous la forme générique des équations d'Euler-Lagrange. Mais le lagrangien sert à calculer l'équation du mouvement, donc si tu l'as déjà ça ne sert à rien de chercher le lagrangien.
Le lagrangien se pose à la main, c'est à travers la construction du lagrangien que le physicien exprime tout son talent. Le reste n'est que calcul. Il faut bien poser le lagrangien du système.

[Antoniuum]

Non enfaite je cherche à trouver le lagrangien qui est égale à énérgie cinétique - énérgie potentielle ! en partant encore des équations d'Euler-Lagrange

[pianno]

est une définition.

En fait, l'équation d'Euler-Lagrange n'est qu'un cas particulier d'une équation encore plus générale. Cette équations "générale" (je ne connais pas le nom exacte, je pense pas qu'elle en ait) se résume à Euler-Lagrange pour les systèmes conservateur. Dans Euler-Lagrange n'intervient qu'une seule quantité qui est T-V et nous la définissons comme étant la fonction de Lagrange. ça n'a rien de fondamentale.

Mais essaie de voir cette équation "générale".

[lucas.gautheron]

Bonjour,

ON peut bricoler un peu pour arriver à L = T pour une particule libre, aveec le raisonnement suivant, proposé dans le landau de mécanique classique :

On considère un système constitué d'une particule isolée dans un référentiel galiléen : son lagrangien a pour forme .
Pour une particule libre, le lagrangien ne peut dépendre de la position (puisqu'elle ne "voit" aucune autre particule dans l'univers, elle peut être n'importe où, cela n'aura aucun effet)
De même, le lagrangien ne peut dépendre explicitement du temps (il ne se passe rien autour d'elle, et le référentiel est galiléen)
Enfin, le lagrangien ne peut dépendre la direction de la particule, parce que l'espace vide est isotrope (et comme une particule libre n'interagit pas, elle ne voit rien d'autre que de "l'espace libre") ; et donc on peut exprimer le lagrangien uniquement en fonction de la norme de la vitesse, et pas de sa direction

Donc finalement on peut écrire :


On considère maintenant un second référentiel galiléen dans laquelle la vitesse de la particule est et on note son lagrangien dans ce référentiel.
Puisque les deux référentiels sont galiléens ils sont en mouvement rectiligne uniforme l'un dans l'autre et est constant.

De plus, les équations du mouvements ne doivent pas être différentes dans les deux cas puisque tous les référentiels galiléens sont équivalents
Pour cela il suffit que les lagrangiens dans chaque référentiel ne diffèrent que d'une dérivée temporelle fonction du temps (et des positions) (démonstration en spoiler), cest à dire qu'il existe g telle que :

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Avec , et en notant la variation d'action engendrée par un écart au chemin égal à , alors on peut exprimer la variation d'action pour le lagrangien :



Puisque la variation d'action pour les deux lagrangien est égale à l'ordre 1, alors unesolution rendant stationnaire l'un d'entre eux rendra également l'autre stationnaire. Donc les deux lagrangiens conduisent aux même équations du mouvement.
CQFD

On développe alors

Au premier ordre il faut donc que le terme proportionnel à soit la dérivée par rapport au temps d'une certaine fonction. Ceci requiert que ce terme soit linéaire en et donc que soit constant et donc que ou K est une constante.

Donc : .

Comme les solutions des équations d'euler lagrange ne changent pas par la transformation , le choix de K est abritraire. Le facteur ne prend de l'importance que si un terme est ajouté dans le lagrangien. C'est pour cela que la masse n'apparait pas dans cette expression.

A+

[lucas.gautheron]

Re,

Si un modérateur peut éditer mon précédent message :
"Pour cela il suffit que les lagrangiens dans chaque référentiel ne diffèrent que d'une dérivée temporelle fonction du temps (et des positions) (démonstration en spoiler), cest à dire qu'il existe g telle que :


Merci

A+

modération : c'est fait, si je me suis trompé, dites le moi par MP

[Antoniuum]

Merci pour vos réponses constructives, en effet j'avais vu l'équation d'Euler-Lagrange généralisée dans le cadre de relativité générale mais qu'on peu construire aussi dans le cadre classique en partant de l'abscisse curviligne, je pense que je réponds donc à ma question !
Merci pour la démonstration aussi, elle est cool, je m'y intéresserai demain

Dernière question un peu hors sujet mais bon :
http://www.sciences.ch/htmlfr/cosmol...vistegen01.php
à la formule 50.127, pourquoi le changement d'indice ne se fait pas sur toute la formule ?

[lucas.gautheron]

J'imagine que la question est "pourquoi cela est il correct";

les deux termes de l'intégrande sont complètement indépendants, ils peuvent être séparés en deux sommes différentes et rien empeche de changer les indices de sommation d'une somme et pas l'autre.

A+

[pianno]

Dans l'intégrale, il y a deux sommes et dans les notations d'Einstein, on peut utiliser deux indices même les deux termes sont indépendants.
Par exemple,


et on peut très écrire que


La somme est la même, et parfois, mettre le même indice permet de retrouver certaines symétries dans l'équation et donc des simplifications.

[Antoniuum]

Eh bien merci à vous deux, maintenant c'est clair, oui c'est ce que je pensais avec l'indépendance des sommes !
Merci encore, je pense que vous avez répondu à toute mes questions !