Lagrangien d'une particule en chute libre et moment conjugué

[Seirios]

Bonjour à tous,

J'ai une petite question sur la détermination du moment conjugué d'une particule en chute libre selon un axe x :

On a le lagrangien qui vaut : .

A partir de là, on doit trouver pour le moment conjugué selon x : , et donc que l'impulsion s'identifie avec la quantité de mouvement.

Néanmoins, je ne vois pas pourquoi on a ; j'ai pensé que cela pouvait s'expliquer par l'appartenance de et de à l'espace de configuration, ce qui ferait par définition que ces variables seraient indépendantes l'une de l'autre, mais je ne vois pas pourquoi appartiendrait à cet espace, cela ne me paraît pas correcte.

Quelqu'un pourrait-il m'éclairer ?

Merci d'avance
Phys2
-----

[Thwarn]

Bonjour à tous,

J'ai une petite question sur la détermination du moment conjugué d'une particule en chute libre selon un axe x :

On a le lagrangien qui vaut : .

A partir de là, on doit trouver pour le moment conjugué selon x : , et donc que l'impulsion s'identifie avec la quantité de mouvement.

Néanmoins, je ne vois pas pourquoi on a ; j'ai pensé que cela pouvait s'expliquer par l'appartenance de et de à l'espace de configuration, ce qui ferait par définition que ces variables seraient indépendantes l'une de l'autre, mais je ne vois pas pourquoi appartiendrait à cet espace, cela ne me paraît pas correcte.

Quelqu'un pourrait-il m'éclairer ?

Merci d'avance
Phys2

C'est quand meme a peu pres ça.
En mecanique lagrangienne, sont des coordonnées définies comme indépendante. Attention, indépendantes dans le lagrangien. Quand tu minimises l'action, elle ne le sont plus et on retrouve bien la relation entre la vitesse et la position.

Ensuite, quand en mecanique hamiltonienne on fait la transformée de Legendre, p et x reste des variables indépendante. Mais c'est vrai que ce n'est qu'a ce moment qu'on parle d'espace des phases.

[Seirios]

C'est quand meme a peu pres ça.
En mecanique lagrangienne, sont des coordonnées définies comme indépendante. Attention, indépendantes dans le lagrangien.

Cette indépendance possède une justification, ou est-ce simplement pour pouvoir retrouver les résultats newtoniens ?

[gatsu]

Cette indépendance possède une justification, ou est-ce simplement pour pouvoir retrouver les résultats newtoniens ?

Salut,

Je ne comprends pas bien. Lorsque tu as une fonction qui s'écrit cela veut dire par définition que et ont des roles a priori differents dans la fonction. Dès lors, rien ne nous empeche de calculer la dérivée partielle de par rapport à l'une de ces variables tandis que l'autre reste fixée, il n'y a rien de bizarre là dedans.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

Je ne comprends pas bien. Lorsque tu as une fonction qui s'écrit cela veut dire par définition que et ont des roles a priori differents dans la fonction. Dès lors, rien ne nous empeche de calculer la dérivée partielle de par rapport à l'une de ces variables tandis que l'autre reste fixée, il n'y a rien de bizarre là dedans.

Tout à fait, mais on pourrait dire que est une fonction de variable , puisqu'on déduit de ; c'est cela qui me dérange.

[gatsu]

Tout à fait, mais on pourrait dire que est une fonction de variable , puisqu'on déduit de ; c'est cela qui me dérange.

Non justement il y a une grosse difference. Ce que tu peux dire c'est que est une fonctionnelle de puisqu'il faut que tu connaisses en gros et pour pouvoir écrire le lagrangien. Cette fonctionnelle est telle qu'elle peut s'écrire comme une fonction de et . Dans ce cas rien ne nous empeche, encore une fois, de regarder comment se comporte le lagrangien lorqu'on fait varier à fixé.

[philou21]

...puisqu'on déduit de ; c'est cela qui me dérange.

Je crois que l'erreur vient de là, on ne peut pas déduire de . Comme le dit gatsu, pour déterminer la vitesse il nous faut absolument deux quantités : x(t) et x(t-dt).
Connaitre x(t) et x(t-dt) est équivalent à connaitre x(t) et v(t)

[Seirios]

D'accord, merci à vous trois, je pense avoir compris.

[philou21]

D'accord, merci à vous trois, je pense avoir compris.

tant mieux...
parce que c'est une problème central pour comprendre la dynamique :
si tu ne connais que les x(t), tu n'as aucun moyen de prévoir l'évolution du système. Il te faut absolument connaitre deux choses : x(t) et où était le système juste avant : x(t-dt)
ou, ce qui revient au même, x(t) et v(t) puisque v(t)=(x(t)-x(t-dt))/dt.
Ces deux quantités sont donc indépendantes.