Lien entre variance et densité spectrale d'un bruit blanc

[invite6b2f367a]

Bonjour,

je viens pour une question sur le bruit blanc.

Si je modélise un bruit blanc gaussien sous matlab
je fais :

n = 500000;
V = 100;
m = 8;
WN = m + V*randn(1,n);

Je créé donc un bruit blanc de 500000 valeurs, de moyenne 8 et de variance 100.
La caractéristique d'un bruit blanc est d'avoir sa densité spectrale de puissance (DSP) constante, là en l'occurence j'ai bien une DSP constante.
La valeur moyenne de cette DSP est (donc constante autour de 25 en gros). J'ai utilisé une fréquence d'échantillonnage de 757 Hz.

Ma question est, comment faire le lien entre la valeur de ma variance V = 100 et la valeur à laquelle se situe ma DSP ? en gros le lien entre le 100 et le 25 ? j'ai lu plusieurs trucs sur le net mais jamais je n'ai vu une explication claire, précise et simple qui me donne ce lien.

Mon but final est de pouvoir faire le contraire, notamment si je veux une densité spectrale (constante) centrée sur par exemple, alors quel V je dois choisir ?

Merci d'avance
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[Resartus]

Je ne connais pas mathlab, mais je comprends que la fonction randn vous fournit une distribution normale de variance 1?

Alors la variance sigma2 de vos echantillons n'est pas 100 mais 10000 (V^2).
Ensuite, la DSP devrait valoir sigma2*2Techantillonage soit dans votre cas 26,66/Hz. Pour avoir une DSP de 100, et toujours avec une fréquence d'échantillonnage de 757 Hz, il faudrait que sigma2 vaille 37850 et donc que votre V vaille 194.

[invite6b2f367a]

Je ne connais pas mathlab, mais je comprends que la fonction randn vous fournit une distribution normale de variance 1?

c'est ça

Alors la variance sigma2 de vos echantillons n'est pas 100 mais 10000 (V^2).

en fait ce que j'ai mis devant le randn c'est pas la variance mais l'écart type alors qui est la racine de la variance ?

Ensuite, la DSP devrait valoir sigma2*2Techantillonage soit dans votre cas 26,66/Hz. Pour avoir une DSP de 100, et toujours avec une fréquence d'échantillonnage de 757 Hz, il faudrait que sigma2 vaille 37850 et donc que votre V vaille 194.

merci, c'est exactement l'information que je cherchais !
Par contre je ne la comprend pas complètement, notamment pourquoi la DSP vaut sigma2*2Techantillonage ?

[Resartus]

Vous avez peut-être vu des formules sans le facteur 2?

En fait, la définition normale de la DSP (transformée de fourier de l'autocorrélation), inclut toutes les fréquences jusqu'à la fréquence d'échantillonage y compris celles au dessus de la fréquence moitié (qui sont équivalentes, dans la transformation de fourier, à des fréquences négatives, puisque la transformée de fourier est une fonction périodique de période 1/T).
Comme la fonction est symétrique DSP(-f)=DSP(f), il est très fréquent d'utiliser la DSP unilatérale qui se limite au segment de zero à la moitié de la fréquence d'échantillonage, et qui vaut le double.
J'ai supposé, au vu de vos chiffres, que c'est ce qu'a fait votre calculateur mathlab...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6b2f367a]

Merci pour ces réponses utiles, j'aurai une autre question du coup :

Comment générer une série temporelle si je connais l'expression de son amplitude spectrale de puissance et que ce n'est pas un bruit blanc mais en 1/f ?

Exemple :

J'ai une amplitude spectrale de puissance (ASD) qui est de type :



Ceci correspond donc à un bruit coloré (de type Flicker je crois).

Ma question : comment je fais pour générer la série temporelle qui correspond ?

Sous matlab par exemple je peux générer une suite de nombres aléatoires avec R = s*rand(M,N) qui génère une matrice de M lignes et N colonnes, mais comment je sais quel s choisir pour aboutir à l'ASD qui suit le critère du dessus ?

Merci !

[Resartus]

Si vous pouvez calculer une DSP, je suppose qu'il y a dans mathlab de quoi faire une transformée de fourier rapide.
Dans ce cas, vous pouvez partir de vos échantillons bruit blanc, en calculer la FFT, puis multiplier chacun des points par 1/f^beta, et retransformer en domaine temps. Il y a peut-être des précautions à prendre pour les fréquences les plus basses, pour éviter des nombres trop élevés.
Cela donnera un bruit avec la couleur voulue.

Mais il y a sans doute d'autres fonctions dans mathlab pour arriver au même résultat plus rapidement...D'autres personnes du forum en savent peut-être plus

[Resartus]

A la réflexion, vous aurez peut-être plus d'interlocuteurs sur les forums math ou electronique...

[invite6b2f367a]

Dans ce cas, vous pouvez partir de vos échantillons bruit blanc, en calculer la FFT, puis multiplier chacun des points par 1/f^beta, et retransformer en domaine temps. Il y a peut-être des précautions à prendre pour les fréquences les plus basses, pour éviter des nombres trop élevés.

pour créer ce bruit blanc je peux considérer son amplitude de comme le bruit coloré ? ça me parait étrange.

[Resartus]

Je ne sais pas trop quelle sera l'amplitude spectrale après le traitement, mais il suffit de faire le calcul, d'en calculer l'ASP, et selon le résultat, de multiplier ou diviser vos échantillons pour la constante qui va bien pour avoir la valeur d"ASP voulue (sachant, comme précédemment, que l'ASP va être multiplié/divisé par le carré de la constante utilisée).
NB: j'ai oublié de préciser tout à l"heure que pour un bruit en 1/f , il vous faut diviser chaque valeur de la transformée de fourier par racine(f). (beta=1/2)

[invite6b2f367a]

J'ai fait de la manière suivant :

J'ai créé avec la méthode précédente un bruit blanc dont la densité spectrale d'amplitude est celle recherchée puis j'ai fait la TF, divisé par f (si je divise par racine(f) alors l'ASD a une pente en 1/racine(f) au lieu de l'avoir en 1/f ), puis TF inverse puis je trace l'ASD de la nouvelle série temporelle. Le niveau était complètement dans les choux donc j'ai bidouillé la variance de la série temporelle d'origine pour atteindre le niveau voulu.

Merci pour votre aide, la méthode fait un peu bricolage mais au moins ça donne un résultat final satisfaisant