MQ : Equation aux valeurs propres d'une somme d'observable agissant dans des espaces différents

[invite8f6d0dd4]

Bonjour à tous.

Bon c'est peut être plus une question de maths mais c'est tellement courant en MQ que je préfère la poster ici.

Ma question est la suivante :

J'ai une observable A=A(1)+A(2)

Ainsi, A(1) agit dans un espace de Hilbert donné et A(2) dans un autre.

J'ai réussi à montrer qu'un vecteur propre de A est nécessairement vecteur propre de A(1) et de A(2).

Mais comment montrer que si on a un vecteur propre de A, il s'écrit nécessairement sous produit tensoriel d'un vecteur du premier espace de Hilbert par un vecteur du second.

Il faut raisonner à l'envers et se dire :
On a N1*N2 vecteurs propres pour A, on en a N1 pour A(1) et N2 pour A(2).

Si je pose PSI=PSI1*PSI2, avec PSI1 et PSI2 vecteurs propres de A(1) et A(2), le PSI "total" est vecteur propre de A par construction.
Et je peux construire N1*N2 vecteurs PSI.

Comme on a N1*N2 vecteurs propres pour A, en les construisant ainsi, je les aurai tous (car avec cette construction, je peux construire N1*N2 vecteurs propres distincts).

Est-ce bien comme cela qu'il faut voir la chose ?

Merci.
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[invitea47ed71f]

C'est faux non?

Si tu prends

A1 de vecteur propres |0> et |1>, A1|0> = |0>, A|1>=0 (A1==[[1,0],[0,0]])

A2 de vecteur propres |+> et |->, A1|+> = 2|+>, A|->=|-> (A2==[[2,0],[0,1]])


Alors |0>*|+> + |1>*|-> est vecteur propre de A1+A2 pour la valeur propre 2, mais pas séparable...

Pour que ça marche, il me semble qu'il faut que a chaque fois que tu choisis une val propre de A1 et une val pr de A2 pour les additionner, tu tombes sur un résultat différent (en décomposant dans la base de vecteur propres de A1 et A2 ça se voit bien).

[invite8f6d0dd4]

Salut.

Pour ton exemple je ne trouve pas que ton vecteur soit vecteur propre de A1+A2.

Je trouve que son application renvoie : 3*|0>|+> + |1>|->

En revanche en prenant les matrices suivante :


(écrite dans la base |0>, |1> )

(écrite dans la base |->, |+> )

Et en prenant le ket |0>|->+|1>|+>, on trouve que c'est bien un vecteur propre (et il ne se met clairement pas sous forme d'un produit tensoriel.

Mais en fait j'ai trouvé l'explication suivante :

On pourra trouver des vecteurs propres de A qui ne seront pas sous forme de produit tensoriel d'un vecteur propre de A1 et d'un vecteur propre de A2.

Mais par contre, on est certain de pouvoir trouver une base de vecteur propre de A qui soit construite à partir d'un vecteur propre de A1 tensoriel un vecteur propre de A2.

En effet, on sait qu'on a N1*N2 vecteurs propres pour A (la dim de l'espace de hilbert associé à A1 est N1, et N2 pour l'autre).
Si je pose :
(Psi_i est vp de A1 et Phi_j est vp de A2), je suis capable en parcourant i et j d'avoir N1*N2 vecteurs distincts.
Or, par construction ils sont vecteurs propres de A.

Donc j'ai été capable de construire une base de vecteur propre de A comme produit tensoriel de vecteurs propres de A1 et de vecteurs propres de A2.
Mais je peux toujours trouver des vecteurs propres de A qui ne sont pas sous forme de produit tensoriel, il s'agirait juste d'une autre base "moins adaptée".

Et tout ça pour dire que c'est justifié quand on a une observable de type A=A1+A2, de chercher des vecteurs propres sous produit tensoriel, car on est sur qu'on aura une base en procédant comme ceci (et ça simplifie pas mal les calculs).

Quelqu'un pourrait il confirmer ou infirmer mon propos svp ?

Merci beaucouuuup !!

[invitea47ed71f]

Oui bien sûr, c'est bon.

Ton exemple est équivalent au mien: je me sers du fait que 1 + 1 = 2 + 0 et toi que 1 + 2 = 2 + 1 : à chaque fois, on a deux couples de valeurs propres de A1 et A2 distincts dont la somme est la même. Si maintenant A1= [[1,0],[0,0]] et A2=[[2,0],[0,4]], la réciproque que tu donnais marche cette fois ci il me semble.

Pour ce qui est de la "base adapté", c'est assez arbitraire: une base adapté n'est pas forcément une base naturelle.
Par exemple, si tu prends deux spins 1/2, la base que tu veux prendre est |++>,|+->,|-+> et |--> mais la base triplet/singulet |++>, |+->+|-+>, |+->-|-+>, |--> est bien plus adapté pour certains problèmes... Et c'est de plus en plus le cas si tu prends plus de spins!
(enfin es tu à l'aise avec les spins?)

[A voir en vidéo sur Futura]