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Equation de Schrödinger et valeurs propres



  1. #1
    Karim35

    Equation de Schrödinger et valeurs propres

    Bonsoir à tous! voila dans l'équation de Schrödinger


    j'ai entendu parler que les solutions que l'on cherche sont les valeurs de l'energie E appelée "valeur propre" donc sur le principe physique si j'ai bien compris cela correspond à la quantification de l'énergie et que pour une particule pour quelle change d'état il lui faut des "valeurs précises d'énergies mais sinon je vois pas trop comment déterminer ces valeurs de E si quelqu'un pouvait m'expliquer merci

    Karim35,

    -----


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  3. #2
    metrododo

    Re : Equation de Schrödinger et valeurs propres

    En stationnaire, la fonction V(x) étant connue, tu résouds l'équa diff compte-tenu des CL puis tu réinjectes pour obtenir E.

  4. #3
    Karim35

    Re : Equation de Schrödinger et valeurs propres

    je vois pas trop comment m'y prendre pour la résoudre?!

  5. #4
    metrododo

    Re : Equation de Schrödinger et valeurs propres

    Regarde un exemple simple comme le puit infini à 1D

  6. #5
    Niels Adribohr

    Re : Equation de Schrödinger et valeurs propres

    Citation Envoyé par Karim35 Voir le message
    je vois pas trop comment m'y prendre pour la résoudre?!
    Salut,
    tu ne peux pas trouver les valeurs propres si tu ne connais pas la forme de ton potentiel. Selon la forme du potentiel, cette équation peut être soit très simple à résoudre soit extremement compliqué. C'est géneralement compliqué, sauf peut-être dans le cas où potentiel est nul où s' il a la forme d'un puit infini.
    Mais il faut d'abord que tu saches résoudre les équations différentielles de ce type, est-ce le cas ? Par exemple, peux-tu trouver l'expression génerale de ψ dans le cas où V (x)=0 ?

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Karim35

    Re : Equation de Schrödinger et valeurs propres

    Ben c'est une équa diff du second ordre et je sais que la fonction qu'on dérive deux fois et proportionnelle à sa dérivée c'est la fonction exponentielle donc

    si V(x)=0 j'aurais donc j'isole la dérivée seconde et j'aurais alors
    et je résoud cette équation du style y"=ay ?

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  10. #7
    Niels Adribohr

    Re : Equation de Schrödinger et valeurs propres

    Citation Envoyé par Karim35 Voir le message
    Ben c'est une équa diff du second ordre et je sais que la fonction qu'on dérive deux fois et proportionnelle à sa dérivée c'est la fonction exponentielle donc

    si V(x)=0 j'aurais donc j'isole la dérivée seconde et j'aurais alors
    et je résoud cette équation du style y"=ay ?
    Oui c'est ça. Une solution pourra se mettre sous la forme

    ψ=Aeikx+ Be-ikx

    avec k= (2mE)1/2 /h réel

    (lire hbar quand j'écris h)

    ce sont des exponentielles complexes puique dans y"=ay, ton a est négatif.

    Maintenant, comment fait on pour connaitre les valeurs possibles de E ? Dans le cas d'une particule libre, on trouve que E peut prendre n'importe quelle valeur positive ou nulle (injecte n'importe quelle valeur positive ou nulle de E dans ta solution, et tu t'apercevras que ça marche. La seule condition est que E soit positif, car comme E=(hk)2/2m, que k est réel et que m est définit positif, E est forcément positif.

    Conclusion : l'énergie d'une particule libre n'est pas quantifiée (elle peut prendre n'importe quelle valeur.

    Maintenant, si tu veux voir le cas le plus simple dans lequel l'énergie est quantifié, il faut que tu essaies le puit de potentiel infini. Dans ce cas, V(x) est définit comme
    -pour x<0, V(x) = +l'infini
    -pour 0< x <a , V(x) =0
    -pour x>a V(x) = +l'infini

    Dans ce cas, il faut résoudre l'équation de Schrodinger dans les trois domaine de V(x) séparément.
    pour le domaine 0< x <a, tu trouveras le même type de solution que dans le cas de la particule libre.

    pour les autres domaines, tu trouveras une solution sous forme d'exponentielle réelle de la forme
    ψ=Cepx+ De-px

    avec p infini. Le fait que ψ ne peut pas être infini te conduira à, selon le domaine, soit dire que C=0 soit dire que D=0.
    Cela te conduira à trouver que ψ est nul dans ces deux domaines.

    Maintenant, tu utilises les conditions de continuités de la fonction ψ et de sa dérivée qui imposent à celles-ci d'être nulle à x=0 et x=a, et cela te donnera des conditions sur les valeurs de k et donc de E.

  11. #8
    Karim35

    Re : Equation de Schrödinger et valeurs propres

    Oki je te remercie beaucoup Niels Adribohr j'ai compris le truc donc pour une particule libre l'energie n'est pa quantifiée alors que lors de la présence d'un puit de potentiel les solutions change et donc l'energie et quantifiée en fonction de la valeur de V(x)? (au fait c'est quoi un puit de potentiel?^^)
    Karim35,

  12. #9
    Niels Adribohr

    Re : Equation de Schrödinger et valeurs propres

    Citation Envoyé par Karim35 Voir le message
    Oki je te remercie beaucoup Niels Adribohr j'ai compris le truc donc pour une particule libre l'energie n'est pa quantifiée alors que lors de la présence d'un puit de potentiel les solutions change et donc l'energie et quantifiée en fonction de la valeur de V(x)? (au fait c'est quoi un puit de potentiel?^^)
    Karim35,
    L'appelation "puit de potentiel", c'est juste pour dire que la représentation graphique de la fonction V(x) a un peu une forme d'un puit.

  13. #10
    Karim35

    Re : Equation de Schrödinger et valeurs propres

    Hmm d'accord merci

  14. #11
    Karibou Blanc

    Re : Equation de Schrödinger et valeurs propres

    Well, life is tough and then you graduate !

  15. #12
    Karim35

    Re : Equation de Schrödinger et valeurs propres

    j'avais un doute si ça prenait un "s" ou pas même en singulier donc je me suis lancé sans "s" j'ai eu faux ^^

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  17. #13
    wolfgangouille

    Re : Equation de Schrödinger et valeurs propres

    Il manque pas un + dans l'équation du début ?
    Renaud

  18. #14
    Astérion

    Re : Equation de Schrödinger et valeurs propres

    Bonsoir,
    Citation Envoyé par wolfgangouille Voir le message
    Il manque pas un + dans l'équation du début ?
    Il ne manque rien dans l'équation du post #1 de Karim.

    A plus.
    "The more is different" P.W Anderson.

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