Problèmes valeurs propres d'une matrice 3x3 et équation du 3ème degrée

[invite4766dea5]

Bonsoir,
Je suis actuellement en train de lire le bouquin d'Eric Lengyel sur les mathématiques appliquées aux jeux vidéos en 3D , et je suis tombé sur un os enfin deux os je dirais : les valeurs propres et les équations du 3ème degrées : ça va faire 2-3 ans que j'ai pas fait de math et la je dois avouer que j'ai pas bien compris, d'une part parce que le livre est en anglais, et d'autre part car quand jregarde sur internet c'est généralement pas des articles faciles d'accès.
Donc en fait ma question se porte sur la matrice donnée en exercice et dont on doit trouver les valeurs propres qui est :
[2, 0, 0]
[5, 2, 3]
[-4,3 ,2]
donc la méthode utilisées dans le livre passe par le déterminant, j'ai lu sur une page de ce site que c'était la méthode bourrine, mais l'autre méthode m'est apparu encore plus obscure donc j'utilise celle du déterminant et j'obtiens ma matrice (M - aI) où a est la valeur propre et I la matrice identité et j'obtiens donc ceux-ci pour le déterminant :
det(M-aI) = | 2 - a, 0, 0|
|5, 2 - a, 3 |
|-4, 3, 2 - a|
donc
det(M - aI) = (2 - a)((2-a)*(2-a) - (3*3))- 0*(5*(2-a) - 3*(-4)) + 0*((5*3) - 4 * (2-a))
qui nous ramène a
det(M - aI) = (2 - a) * ((2-a)*(2-a) - 9)
et j'obtiens donc le polynôme du 3eme degrée suivant :
det(M - aI) = (-a³ + 2a² -3a - 10)
et là je sèche car je ne sais absolument pas comment le résoudre, la solution étant fournis dans le livre (a1 = -1, a2 = 2, a3 = 5), j'ai cherché des méthodes pour la résoudre comme la méthode de cardan, mais je me suis perdu dans mon calcul et de plus je pense m'être trompé dans le calcul du déterminant voir même dans la matrice.
Si quelqu'un pouvait m'aider avec une explication claire ça serait très gentil,
Merci
-----

[Fanch5629]

Bonsoir.

...
donc
det(M - aI) = (2 - a)((2-a)*(2-a) - (3*3))- 0*(5*(2-a) - 3*(-4)) + 0*((5*3) - 4 * (2-a))
qui nous ramène a
det(M - aI) = (2 - a) * ((2-a)*(2-a) - 9)
et ...

La clé est dans ce qui est en gras ... Faut pas toujours développer comme un bourrin !

Au revoir.

[invite4766dea5]

Bonsoir.



La clé est dans ce qui est en gras ... Faut pas toujours développer comme un bourrin !

Au revoir.

Oui, c'est vrai que j'ai tendance à y aller direct , mais j'avais essayer en remplaçant (2 - a) * ((2-a)*(2-a)) par (2-a)³, et donc obtenir
(2-a)(2² + 2a + a²) - 9(2 - a) , mais après jvois pas .

[invite4766dea5]

Oui, c'est vrai que j'ai tendance à y aller direct , mais j'avais essayer en remplaçant (2 - a) * ((2-a)*(2-a)) par (2-a)³, et donc obtenir
(2-a)(2² + 2a + a²) - 9(2 - a) , mais après jvois pas .

Quoique en réfléchissant, je peux factoriser par (2-a) et obtenir :
(2 - a) (-5 + 2a + a²) et donc à partir de là j'ai juste à résoudre les équations (2 - a) et (-5 + 2a + a²), mais j'obtiens toujours pas le même résultat =/.
(Désolé pour le post en plus, mais ça voulait pas éditer =/).

[A voir en vidéo sur Futura]

[God's Breath]

Tu devrais trouver .

[invite4766dea5]

Tu devrais trouver .

Oui, jme suis aperçu de mon erreur, j'ai confondu la formule (a - b) ^ 3 avec celle de a ^3 - b ^3, et en réfléchissant un peu plus, j'ai vu que j'avais (2 - a)(2 - a)^2 - 9(2 - a), et là j'obtiens le bon résultat , encore merci Fanch5629 et God's Breath, parce que là je commençais à devenir fou .