Vecteurs et Produits vectoriels

[invitecfbf8709]

Bonjour à toutes et tous

je reprends des cours pour passer un concours mais les études sont trés loin
j'aurai besoin de votre aide s'il vous plait.
je fais donc un grand exo sur les vecteurs dont la question 4 est:
calculez (vecteur A1+ vecteur A2)scalaire(vecteur A2+ vecteur A3)
là aucun probléme il s'agit du vecteur nul (0,0,0)

en revanche la question 5 est la suivante:

vecteurA1( -1,1;1) vecteurA2(1,-1,1) vecteurA3(1,1,-1)

Soit le vecteur B= x A1(vecteur)+ y A2(vecteur)
Calculer x et y pour que le vecteut B soit normal au vecteur A3 et qu'il ait la longueur unité.

je sais que normal = perpendiculaire
merci de me donner, si vous le pouvez,un indice pour démarrer
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[invite603107e6]

Bonjour,
deux vecteurs orthogonaux ont leur produit scalaire nul...

[invite73ed442a]

tu as deux variables à trouver (x et y) et deux indices pour les trouver (donc deux equations):

1/ B normal à A3 => B scalaire A3 = 0
2/ longueur unité => norme de B=1 => tu calcules le vecteur xA1+yA2 et tu en calcule la norme (en fonction donc de x et y). Et cette norme de (x,y)=1.

C'est important de calculer la norme du vecteur somme et non la somme des normes des deux vecteurs a cause de l'inégalité triangulaire (on se laisse vite prendre au piege ).

J'espere avoir répondu clairement n'hésite pas si c'était pas clair .

[invitecfbf8709]

Bonjour,

Tout d'abord merci à tous les deux pour vos réponses mais je vais profiter une fois de plus de vos lumières si vous le voulez bien.

J'ai essayé de faire de la façon suivant mais je ne m'en sors pas :
J'ai considéré que les coordonnées de B étaient x,y,z on a donc :
Vecteur B scalaire Vecteur A3 =0 ce qui donne
x+y-z =0

D'autre part :

Vecteur B = x.vecteurA1 + y. Vecteur A2
Vecteur B = (xA1.x+YxA2,xyA1+yyA2, xzA1+yzA2)
Vecteur B = (-x+y, x-y,x+y)

Calcul de la norme de la somme

xA1+yA2 = racine carré ((-x+y)²+(x-y)²+(x+y)²)
=racine carré (3x²-2xy+3y²)=1

Je ne sais pas résoudre ça. Donc je me suis trompé? et ou?

Merci par avance

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea3eb043e]

Vecteur B = (-x+y, x-y,x+y)

(3x²-2xy+3y²)=1

Avec ça, tu dois trouver ton bonheur. Tu n'as pas écrit que le vecteur B est normal à A3. Tu devrais, ça aide bien.

[invitecfbf8709]

Merci Jean Paul pour ton aide

donc si B est normal à A3 alors z=0 et donc y = -x

je remplace dansl'equation: racine carre (3x²-2xy+3y²) =1
ça donne racine carre de 2x²=1 soit x=1/racine carré de2
et y= -1/racine carre de 2

les coordonnées de B sont donc (1/rc2, -1/rc2, 0)

est ce bien cela???

merci par avance

[invitea3eb043e]

Vérifie ton calcul : y = - x

[invite8915d466]

Tu te trompes en posant que B = (x,y,z). Tu utilises deux fois les memes lettres x et y pour deux choses différentes.

En fait il ne faut prendre que ta deuxieme equation
déduite de B=xA1+yA2, soit B=(-x+y,x-y,x+y), et c'est avec ces coordonnées qu'il faut écrire B.A3=0

Tu n'as pas besoin d'introduire z, tu sais que z=x+y d'après ta deuxieme equation.

[invitecfbf8709]

merci à tous pour votre aide si je calcule B.A3=0
avec coordonnées de B ((-x,y), (x-y), (x+y)) et
A3 (1,1-1).

j'obtiens : (-x+y).1 +(x-y).1+(x+y).-1 =0
-x-y=0 d'ou -x=y

et je retourne à ce que j'avais écrit précédement

je remplace dansl'equation: racine carre (3x²-2xy+3y²) =1
ça donne racine carre de 2x²=1 soit x=1/racine carré de2
et y= -1/racine carre de 2

les coordonnées de B sont donc (1/rc2, -1/rc2, 0)

Merci pour votre aide

[invite52c52005]

merci à tous pour votre aide si je calcule B.A3=0
avec coordonnées de B ((-x,y), (x-y), (x+y)) et
A3 (1,1-1).

j'obtiens : (-x+y).1 +(x-y).1+(x+y).-1 =0
-x-y=0 d'ou -x=y

et je retourne à ce que j'avais écrit précédement

je remplace dans l'equation: racine carre (3x²-2xy+3y²) =1
ça donne racine carre de 2x²=1 soit x=1/racine carré de2
et y= -1/racine carre de 2

les coordonnées de B sont donc (1/rc2, -1/rc2, 0)

Non, après remplacement grâce à y=-x, la norme de est . Donc en égalant à 1, il y a 2 possibles (tels que x=1 ou -x=1).
Les coordonnées sont :
(1/, -1/, 0) soit (1/2, -1/2, 0) et (son oppposé)
(-1/, 1/, 0) soit (-1/2, 1/2, 0)

[invitecfbf8709]

merci pour le réponse je vais reprendre mes calculs.