Mouvement brownien - Moyennes arithmétique et quadratique

[invitee44b938f]

Bonsoir à tous

Dans mon cours sur la diffusion des particules neutres, on est amenés à démontrer la relation suivante : <r²> = 2dDt, où
- <r²> est la moyenne des carrés des distances parcourues par les particules
- d est le nombre de dimensions du système
- D est le coefficient de diffusion du soluté dans le solvant considéré
- t est la durée de l'étude

Souvent dans les exercices, on nous demande de calculer la distance moyenne parcourue par les particules pendant un temps t, qui vaudrait "racine de 2dDt" (désolé je suis nouveau^^).

Mais ceci sous-entend que la distance moyenne est égale à la distance quadratique moyenne non ?
Pourtant je pensais que la moyenne quadratique était supérieure à la moyenne arithmétique...

Voilà, en gros, y'a t-il des conditions (grand nombre de particules, durée assez longue...) pour lesquelles on peut considérer que <r>²=<r²> ?

Merci d'avance
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[invite93279690]

Salut,

Il est vrai qu'il y a pas mal d'abus de langage sur ce sujet...cela dit je ne vois pas trop a quoi tu te réfères lorsque tu parles de moyennes arithmétique (dans ce contexte), tu peux preciser svp ?

P.S.: note que la moyenne du vecteur r pour un mouvement Brownien est nulle.

[invitee44b938f]

Merci pour votre réponse

Oui je vais essayer d'être un peu plus clair.
En fait, on imagine qu'on "lâche" une particule en un point O, et qu'on observe sa trajectoire au cours du temps.
On refait cette expérience pour un grand nombre de particules et on s'intéresse à des résultats statistiques, à cause du caractère aléatoire de la situation.

Pour une particule, après n chocs, son vecteur déplacement est noté vec(l).
On note vec(r) le vecteur moyen de tous ces déplacements effectifs, soit : vec(r) = <vec(l)>.
Sauf que comme vous dites, ce vecteur est nul car la direction est aléatoire^^

Du coup on s'intéresse à la moyenne des carrés des déplacements effectués, à savoir <vec(l)²> = <l²>.
Après une démonstration pas très longue mais compliquée à retranscrire, on aboutit à <l²> = n lambda² = 2dDt (avec lambda la distance moyenne parcourue entre deux chocs)

C'est donc cette relation qu'on utilise pour calculer la distance moyenne r parcourue par les particules, mais pourtant il s'agit de la moyenne des carrés et non du carré de la moyenne.
Calculer la racine donnerait donc la moyenne quadratique des déplacements et non pas la moyenne...

La seule explication que je trouve serait qu'on puisse dire que <l²> = <l>², autrement dit que la moyenne arithmétique est égale à la moyenne quadratique.

Je suis vraiment désolé si je suis pas clair... :\

[invite9cecbb6f]

Voila comment je comprend ça.
Soit A une variable aléatoire tq <A>=0 alors variance(A)=<A²>.

Donc si vous regardez un très grand nombre de particules après un temps t, elles auront chacune parcouru une distance proche de sqrt(<r²>) même si la moyenne de tous leur déplacement est nul.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec998f71d]

Il faut d'abord établir que la probabilité p(x,t) obeit à l'équation de diffusion (elle est comme l'équation de Schrodinger mais sans lr i imagonaire.
Sa solution est une gaussienne.
On obtient sa variance comme indiqué ici.

[invite93279690]

C'est donc cette relation qu'on utilise pour calculer la distance moyenne r parcourue par les particules, mais pourtant il s'agit de la moyenne des carrés et non du carré de la moyenne.

En effet et c'est pour associer un nombre a deux faits indeniables pour un movement Brownien:

1) la position moyenne a tout instant sera toujours celle du point de depart choisi

2) pourtant la particule se ballade aleatoirement dans la solution et peut se trouver tres loin du point initial

La maniere de reconcilier ces deux observations en apparence contradictoire est de comprendre qu'une moyenne ne contient pas du tout
toute l'information sur la densite de probabilite de la position de ta particule Brownienne. Dans le cas present, la moyenne est independante du temps et est toujours la meme a cause de la symmetrie de la dynamique Brownienne. En d'autres mots si tu regardes deux molecules qui partent du meme point initial, l'une pourra etre +3 cm plus loin après 2 min alors que l'autre pourra etre -3 cm plus loin après 2 min. Si je fais la moyenne je vais obtenir zero BIEN QUE ces molecules aient parcourues une vrai distance de 3 cm en 2 min de part et d'autre du point d'origine.

Par definition, il se trouve que l'ecart type (la racine carre de la variance) te dit exactement a quell point est ce qu'une particule va etre loin de la valeur moyenne i.e. du point initial; c'est donc bel et bien la valeur a regarder.

Calculer la racine donnerait donc la moyenne quadratique des déplacements et non pas la moyenne...

tu te focalises sur le mauvais vocabulaire. Ce qui est important c'est de comprendre pourquoi il faut s'interesser a l'ecart type de la probabilite de position et non pas a sa moyenne.

La seule explication que je trouve serait qu'on puisse dire que <l²> = <l>², autrement dit que la moyenne arithmétique est égale à la moyenne quadratique.

lorsque ta variable aleatoire peut prendre des valeurs positives et negatives, il est tres tres facile de montrer que ce n'est jamais le cas....et encore une fois evite cette terminologie de moyenne quadratique et arithmetique, elle n'est absolument pas adaptee a la discussion ou seules les notions de moyenne et d'ecart type sont necessaires (et probablement combinees a la loi des grands nombres voire, en function du niveau, au theorem central limite).

[invitee44b938f]

Tout d'abord merci à tous pour vos réponses^^

Globalement, vous m'avez tous parlé de la variance et de l'écart type du déplacement effectué et j'ai compris pourquoi

Il faut d'abord établir que la probabilité p(x,t) obeit à l'équation de diffusion (elle est comme l'équation de Schrodinger mais sans lr i imagonaire.

Heu, c'est un petit peu compliqué pour moi
Mais je pense que le plus important était la suite^^

J'aurais juste une dernière question : dans quel mesure peut on être sûr que la distance parcourue est proche de l'écart-type ?
Je comprend qu'il y'ait un lien entre la dispersion et la distance parcourue, mais en quoi ces grandeurs sont égales ?
Merci d'avance !

[invite93279690]

Tout d'abord merci à tous pour vos réponses^^

Globalement, vous m'avez tous parlé de la variance et de l'écart type du déplacement effectué et j'ai compris pourquoi



Heu, c'est un petit peu compliqué pour moi
Mais je pense que le plus important était la suite^^

J'aurais juste une dernière question : dans quel mesure peut on être sûr que la distance parcourue est proche de l'écart-type ?
Je comprend qu'il y'ait un lien entre la dispersion et la distance parcourue, mais en quoi ces grandeurs sont égales ?
Merci d'avance !

Par definition, l'écart type dans ce contexte est la moyenne de la distance typique a la position moyenne au carre...cela me semble assez indicatif.

[invitee44b938f]

Mais l'écart-type est la racine de la variance, donc la racine de la moyenne des carrés des distances parcourues.

Puisque la moyenne des carrés est différente du carré de la moyenne, l'écart-type est forcément différent de la distance moyenne non ?
Il me semble que l'écart moyen serait plus judicieux à calculer que l'écart-type non ?

Désolé je dois vraiment être énervant mais j'arrive pas à comprendre

[invite93279690]

Mais l'écart-type est la racine de la variance, donc la racine de la moyenne des carrés des distances parcourues.

Puisque la moyenne des carrés est différente du carré de la moyenne, l'écart-type est forcément différent de la distance moyenne non ?

Si on s'intéresse a la distance moyenne par rapport a la moyenne, alors il nous faut faire la moyenne au moins de la valeur absolue |l-<l>|. Il se trouve juste que cette variable n'est en general pas une "bonne" variable aléatoire, c'est pourquoi il est plus intéressant de considerer la moyenne de |l-<l>|^2 qui au final donne une indication de la distance au carre moyenne.

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En fait il y a des tonnes de raison de regarder l'ecart type plutôt que la moyenne de la distance a <l> dont son lien avec les moments de la distribution de probabilité ou bien le développement de cette derniere en cumulants.

Prendre la racine carre de la distance au carre moyenne donne de toute façon une distance qui représente la meme chose que la moyenne de la valeur absolue (ou de la norme) mais donne un résultat plus généralement interpretable.

[invitee44b938f]

D'accord je pense avoir compris
Merci beaucoup pour votre patience^^

Et bonne soirée

[invitec998f71d]

As tu calculé la solution de l'équation donnant l'évolution temporelle de p(x,t)? Tout le reste n'est que littérature (sauf si c'est un prof de francais qui t'a donné le probleme .

[invite93279690]

As tu calculé la solution de l'équation donnant l'évolution temporelle de p(x,t)? Tout le reste n'est que littérature (sauf si c'est un prof de francais qui t'a donné le probleme .

Ca ne sert rien de calculer la distribution si on ne se met pas d'accord sur la quantité dont on veut calculer la moyenne...et ca c'est un peu plus que de la littérature...

[invitec998f71d]

L'équation de diffusion est

Sa solution
une gaussienne qui par identification avec
wiki donne la variance cherchée

[invite93279690]

L'équation de diffusion est

Sa solution
une gaussienne qui par identification avec
wiki donne la variance cherchée

n'as tu pas compris que la discussion portait (ou pouvait porter) sur un autre point que celui ci ?

Relis les objections d'Achdeuzo et tu verras que son problème est de comprendre pourquoi est ce qu'on s'intéresse a la variance et pas a autre chose. Du coup, t'entêter a balancer la distribution de probabilité pour un processus de diffusion ne peut répondre que très partiellement a la question posée selon moi.