moyennes arithmétique et géométrique

[invite2451a04b]

Bonjour, voilà j'éprouve des difficultées sur un exercice et j'aurais besoin de votre aide.

a et b sont deux réels tel que 0 < a < b. Les suites (Un) et (Vn) sont définies par U0 = a, V0 = b et pour tout entier n :
Un+1 = UnVn et Vn+1 = (Un+Vn)/2 .
( Note: Un+1 est une moyenne géométrique et Vn+1 la moyenne arithmétique de Un et de Vn.

1. Prouvez que pour tout n, Un et Vn sont strictement positifs.
(problème pour débuter l'hypothèse de récurrence)

2. Prouvez que pour tout n, Un<(ou égal) Vn. ( Je pense qu'il faut utiliser le raisonnement par récurrence mais je ne vois pas trop comment faire)

merci bien
-----

[Gwyddon]

Hello,

Tu dis avoir un souci pour débuter la récurrence de la première question ? Pourtant, si j'ai bien lu, tu as 0 < a < b non ?

Pour la deuxième question un raisonnement par récurrence fait encore l'affaire.

En fait j'ai l'impression que tu ne sais pas très bien ce qu'est un raisonnement par récurrence.. Peux-tu nous détailler ce que tu en sais ?

[invite2451a04b]

Alors pour la première question j'ai montré que pour les premières valeurs de n, n=0 et n=1, u0>0, u1>0 et v0>0, v1>0. Donc jusque là c'est pas bien compliqué. Après il faut démontrer que pour un n arbitrairement choisi tel que un>0 alors Un+1 est vrai. C'est ce qu'on appelle l'hérédité. Et c'est à ce moment là que je bloque.

[Gwyddon]

Ok, donc tu bloques sur l'étape du milieu

Prenons donc un n entier > 0 arbitraire, et supposons que la propriété "U(n) et V(n) sont strictement positifs" soit vraie.

Il est très facile de montrer alors que U(n+1) est strictement positif, as-tu pensé à utiliser ton énoncé, et notamment la relation de récurrence définissant la suite U(n) ?

Pour V(n), une fois que tu auras compris pour U(n), ce sera pareil et très simple aussi

Courage !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2451a04b]

OK ça marche pour la première question. Maintenant pour la deuxieme j'étudie le signe de la différence ?

[Gwyddon]

Yep, tout à fait c'est une bonne idée

Ravi que tu y arrives en tout cas