DM : moyenne arithmétique et géométrique de 2nd.

[invitef83aaf16]

Bonjour.
J'ai quelques question d'un DM qui me pose problème.
On a la moyenne arithmétique m de 2 nombres réels positif a et b tel que a<b notée m=(a+b)/2 et la moyenne géométrique de ces mêmes nombres notée g=racineaxb (la racine inclut les 2).

1)Déterminez le signe de m-a puis de m-b et en déduire que a<m<b.
2)a)Déterminer le signe de a²-g² et en déduire que g>a.
b)Par un procédé analogue, pruover que g<b.
c)Déduire un encadrement de g

3)a)Montrer que m-g=1/2(racine a- racine b)².
b)Conclure sur l'ordre de m et de g
4)Ordonner dans l'ordre croissant (a+b)/2, racine(axb), a et b.

J'ai répondu (je résume car c'est très long) :
1)Si m est la moyenne de a et de b et que a<b, alors m-a>0 et m-b<0.
Ainsi, si m-a>0 alors a<m et si m-b<0 alors m<b donc a<m<b.
2a)g étant la moyenne géométrique de a et de b et a<b, alors g-a>0, a-g<0 donc a²-g²<0.
si g-a>0 alors g>a.
b)g étant la moyenne géométrique de a et de b et a<b, alors g-b<0, b-g>0 et b²-g²>0.
si g-b<0 alors g<b
c)g>a, g<b et a<b donc a<g<b.

je bloque complètement à la question 3)a) .
j'aimerais un petit coup de main
Merci.
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[inviteb85b19ce]

Salut,

Développe le carré du membre de droite, tu tombes direct sur ce qu'il faut.
(Ou inversement, reconnais une identité remarquable dans l'expression de m-g)

[invitedf667161]

Salut pour la 3)a) ce n'est pas tr&#233;s dur : mets m-g au m&#234;me d&#233;nominatuer (2) et rappelle toi tes identit&#233;s remarquables.

EDIT : Grille :P

[invitef83aaf16]

Ah d'accord, &#231;a fait (a+b)/2 - 2racine(axb)/2
=(a-2racine(axb)+b)/2
=1/2(racine a- racine b)&#178;.
Quels idiot, dire que c'&#233;tait si facile.
Donc pour le b) m>g, c'est &#231;a puisque m-g>0.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef83aaf16]

Je viens de voir dans la partie 4 que l'on doit tracer un rectangle de 16cm sur 9cm avec la r&#232;gle et l'&#233;querre puis construire &#224; l'aide de ce rectangle un carr&#233; de m&#234;me aire avec seulement une r&#232;gle "non-gradu&#233;e" et un compas.
J'ai calcul&#233; le c&#244;t&#233; du carr&#233; qui fait 12cm de c&#244;t&#233;.
Mais je ne sais pas comment le trac&#233;.
Vous avez une id&#233;e?

[invitedf667161]

Un indice, chez vous qui nous regardez dans vos maisons de retraite :

"Pythagore est ton ami"

[invitedf667161]

Euh non en fait j'ai hallucin&#233;, si t'as droit au compas c'est plut&#244;t simple et tu n'as m&#234;me besoin que du segment qui fait 16 de longueur.

[invite52c52005]

Je pense que ce qu'on lui demande doit avoir un lien avec les questions précédentes dans l'exercice. Il se trouve que la moyenne géométrique des deux côtés vaut .

[invitef83aaf16]

Non, c'est bon, je crois que j'ai trouvé.
Le rectangle est ABCD tel que ab=cd=16cm et ad=bc=9cm
On prolonge bc sur c. On reporte ad sur cd donc on obtient 7cm (16-9). On trace un cercle de ce rayon et de centre c. Le point d'intersection avec bc sera e. On reporte be sur l'autre point d'intersection de la droite BC que l'on appelle f tel que ce=5cm (7-2).
On reporte ce afin de le rajouter au 7cm déjà obtenu par le cercle donc on obtient 12cm (7+5).
On reporte sur cd puis on trace les segments di et fi tel que di=fi=12cm.
On obtient le carré DIFC de 12cm de côté.

[invitedf667161]

A ce moment l&#224; il y avait plus simple : coupe le cot&#233; de 16 en deux, tu obtiens deux longueurs de 8. Recoupe encore en deux, tu obtiens des longueurs 4. Prends en trois et tu as ton douze.

Je crois qu'on voulait plut&#244;t que tu utilise sqrt(16*9) = 12 comme dit plus haut. mais j'avoue que je vois pas comment

[invitef83aaf16]

Comment le couper en deux avec une r&#232;gle NON gradu&#233; et un compas.
Pas logique

[invite52c52005]

Ah, si tu peux, en utilisant les propriétés des triangles. Dans un triangle isocèle, la médiatrice est aussi hauteur.

[inviteaf1870ed]

Pour trouver le milieu d'un segment on n'a besoin que d'un compas et d'une règle non graduée.

[inviteaf1870ed]

Voir le lien ci dessous pour la construction de la moyenne géométrique à la règle et au compas. Elle date d'Euclide, et on n'a jamais fait mieux !



http://www-irem.univ-fcomte.fr/bulle...e_moy_geo.html