Equation d'un trajectoire balistique avec variation de la pesanteur

[invite994d01a9]

Récemment, je me suis récemment intéressé à la balistique et à ses équations comme celle de la trajectoire sans frottement de l'air:



avec:
: angle de tir
: accélération de la pesanteur
: vitesse initiale du projectile

et un jour, sur un coup de tête, j'ai voulu remplacer g par:



avec:
: constante universel de gravitation
: masse de la planète en question
: rayon de la planète en question
: hauteur du projectile par rapport au sol

afin d'avoir une équation de la trajectoire qui prend en compte la variation de l'accélération de pesanteur qui varie avec l'altitude mais je tombe sur cela:



et je n'arrive pas du tout à tomber sur une équation en (le reste sans z) donc j'aimerais savoir si c'est possible (je pense) et comment y arriver, merci de vos réponse.
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[invite6ab7b7b1]

Bonsoir,
as-tu essayé de multiplier ton équation par , "passer" tout les termes en z du même coté de l'équation ? A priori, tu auras un polynome de degré 3, qui doit être résoluble à l'aide d'un logiciel de calcul formel, cela pourrait te donner ce que tu recherches. Après il se fait tard, donc je dis ça sans grande certitude

Pixin.

[phys4]

Bobsoir,
L'équation z(x) de départ résulte du remplacement de t par x dans l'équation de z(t)
Il n'est pas possible de retrouver la bonne formule sans recalculer la nouvelle fonction z(t)

Comme l'accélération dépend de z, ce n'est plus une intégration simple, il faut résoudre l'équation différentielle en d²z /dt²
Bon courage si vous voulez essayer.

[invited9b9018b]

Bonjour,

Phys4 a bien sur raison; il faut résoudre l'équation du mouvement et l'équation différentielle obtenue n'est pas aussi triviale.
Mais le résultat est connu : la trajectoire est un arc d'ellipse (en général d'une conique) si l'objet atteint bien la surface (dans le cas contraire la trajectoire n'a pas de fin)
Cherchez "problème à deux corps" sur internet.

A+

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite994d01a9]

Merci à tous de vos réponses, je vais essayer ce que vous me proposer mais je ne garantie rien

[invite994d01a9]

Mais si il y en a qui sont chaud pour le faire, sa ne me dérange pas car je ne suis actuellement qu'en Terminale

[invited9b9018b]

Je vous ai pourtant dit que le résultat était connu et se trouve en 5 secondes sur internet.

[invite994d01a9]

Alors j'ai une autre question, en quoi ma question de départ concerne le problème des deux corps et ce serais sympathiques de me donner un lien ou ce trouverais le résultat dont vous parliez.
Et encore merci pour vos réponses.

[phys4]

C'est en effet le problème des deux corps.
Résoudre ton problème pour une géométrie plane est sans intérêt pratique car la variation avec l'altitude est une conséquence de la symétrie sphérique et donc nous ferions la même erreur qu'en négligeant la courbure.

La résolution complète en 3D se trouve en de nombreux endroits tel que celui-ci :
https://fr.wikibooks.org/wiki/M%C3%A...%A0_deux_corps
Au revoir.