Démonstration du théorème de fluctuation dissipation

[invite8f6d0dd4]

Salut à tous

Ma question est la suivante :

Pour démontrer le thm de fluctuation dissipation en physique statistique dans mon cours, on commence par essayer d'établir une expression de la fonction de relaxation en fonction des corrélations à l'équilibre du système.

On a une grandeur X(t). Son conjugué est la grandeur x. On est dans un système hors équilibre pour t>0, mais à t=0 on était à l'équilibre. Lors de cette situation d'équilibre, nous avions :



Ensuite on bascule hors équilibre pour t>0.
On a alors : .
est l'évolution dans le temps de l'état .
Pour calculer la moyenne hors équilibre en gros l'idée c'est qu'on connaît les probabilités à t=0 car on était à l'équilibre. On connaît également les équations d'évolution de la grandeur X. On en déduit donc la valeur de la moyenne hors équilibre par cette relation.

Ensuite en faisant diverses hypothèses, on arrive à l'expression suivante (au milieu du calcul je ne dis pas que ce que j'ai écrit en amont est égal à ceci):

Où est simplement la fonction de partition canonique.

Et là, dans mon cours le prof écrit :
où représente donc la moyenne de la grandeur X en absence de champ.

Mais ce que je ne comprends pas c'est pourquoi cette grandeur ne dépend pas du temps ?
En effet dans la dernière somme que j'ai écrite : ok on a des probas canoniques, ok on fait donc un calcul à l'équilibre.

Mais pour moi on a un équilibre "à t" si on veut vu que . Je ne voit pas pourquoi : ne dépend en fait pas du temps ?

Qu'est ce qui me dit que mon équilibre à t1 sera le même que celui à t2 ? Moi je comprends la formule comme à chaque t on a une situation d'équilibre mais quand t augmente l'équilibre "change" si on veut.

Merci !!
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[invite93279690]

Salut,

Je vais être franc, je n'ai jamais compris les derivations du théorème de fluctuation-dissipation qui m'a été présenté pendant mes cours a l'école, donc je ne suis clairement pas le mieux placé pour répondre.

En revanche, je note que dans ta dernière equation, je ne comprends pas sur quoi porte la somme. Si r_0 doit être interprétée comme une variable aléatoire qui prend certaines valeurs, il est inutile d'expliciter sa dépendance en le temps si on somme sur toutes les valeurs qu'elle peut prendre; car dans un tel cas, le résultat retourné ne peut être qu'indépendant du temps.

[invite8f6d0dd4]

Salut.

Merci de ta réponse !

Soit X une grandeur physique comme une polarisation par exemple.
En fait représente un micro état pris par le système à t=0. A t=0, le système était à l'équilibre thermodynamique.
représente donc la valeur de la polarisation quand le système était à l'équilibre dans le micro état r0.
représente l'évolution dans le temps de la grandeur décrite ci dessus. Cette évolution est déterminée par des équations déterministes.

Donc en résumé, l'ensemble des décrit un ensemble de micro états à t=0. Ensuite on étudie l'évolution dans le temps des grandeurs physiques qui partent de ces points là.

Donc en principe la somme dépend bien de t quand elle est écrit telle quelle. Il faut utiliser un argument physique pour dire "en fait elle en dépend pas".

Mais quand j'ai demandé à mon prof pourquoi le résultat final ne dépendait pas du temps il m'a dit "c'est parce qu'on est à l'équilibre". Si on regarde la proba ok on a une proba d'équilibre mais on a X_r0(t) donc je capte pas.

Voila, merci !

[invite93279690]

Ok je vois un peu mieux les notations. Mais il faut bien voir que la dependence en temps dont tu parles est toujours vraie, y compris a l'équilibre. Parce que en gros, si j'introduis la notion de flot hamiltonien (qui est l'opérateur d'evolution d'un microetat en mécanique hamiltonienne) tel que , alors on a que, juste en terme de notation, . Mais cette equation est toujours vraie. Le truc c'est que si la dynamique est hamiltonienne alors tout point évolue en bijection univoque vers un point unique lui correspondant sous l'influence du flot hamiltonien . Comme la somme sur les états initiaux est deja cense couvrir l'ensemble de l'espace des phases, l'espace d'arrive, sous le flot hamiltonien, va couvrir également tout l'espace des phases (théorème de Liouville) et du coup, toutes les valeurs de la macrovariable qui vont être sondées dans la moyenne seront les memes qu'en faisant une somme sur les états initiaux; d'ou le résultat proposé.

Il faut bien voir que 1) le concept de macrovariable hors d'équilibre ne veut rien dire, 2) le concept de microetat hors d'équilibre ne veut rien dire non plus et 3) la seule chose qui qualifie un état hors d'équilibre est une distribution de probabilité explicitement dépendante du temps qui est le seul moyen d'affecter la valeur moyenne d'une observable et la faire dépendre du temps. Si ce n'est pas le cas, a cause des propriétés "magiques" du flot hamiltonien, toutes les moyennes sur tous les microetats (peu importe quand ces microetats sont pris) renverront toujours la meme valeur, meme si évidemment ces microetats évoluent dans le temps.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8f6d0dd4]

Re !

Génial, merci.

Si je reformule, en gros en faisant appel à la notion de flot hamiltonien (je suis pas du tout familier avec la mécanique analytique), on montre que comme on parcourt à t=0 tout l'espace des phases dans la somme, ce sera aussi le cas à t>0 (Liouville).

Du coup, chaque terme a un correspondant à t=0.

Autrement dit, il existe tel que :

Mais par contre je ne comprends pas en quoi ça prouve que la moyenne ne dépend pas du temps.

En effet, sera multiplié par une proba dépendant de et par une proba dépendant de . Du coup on est pas sur d'avoir le même résultat après avoir calculé la somme ?

Merci !

[invite8f6d0dd4]

Ah non en fait je crois que j'ai compris.

Vu que les probas dépendent pas du temps mon précédent message est faux.

Donc en gros vu qu'on parcourt tout l'ensemble de l'espace des phases à t=0 et d'après Liouville, on le parcourt aussi à t.
Donc logiquement, les deux sommes sont identiques (peut être qu'une config r_1 à t=0 deviendra une config r_0 à t, mais vu que les probabilités n'ont pas évoluées, le calcul restera inchangé).

Merci

[invite93279690]

Ah non en fait je crois que j'ai compris.

Vu que les probas dépendent pas du temps mon précédent message est faux.

Donc en gros vu qu'on parcourt tout l'ensemble de l'espace des phases à t=0 et d'après Liouville, on le parcourt aussi à t.
Donc logiquement, les deux sommes sont identiques (peut être qu'une config r_1 à t=0 deviendra une config r_0 à t, mais vu que les probabilités n'ont pas évoluées, le calcul restera inchangé).

Merci

c'est ca .

[invite8f6d0dd4]

Okep, merci beaucoup

[invite8f6d0dd4]

Salut !

Je me permet de remonter ce topic car en fait quelque chose m'échappe toujours.

Je reprends ce post ci :

Si je reformule, en gros en faisant appel à la notion de flot hamiltonien (je suis pas du tout familier avec la mécanique analytique), on montre que comme on parcourt à t=0 tout l'espace des phases dans la somme, ce sera aussi le cas à t>0 (Liouville).

Du coup, chaque terme a un correspondant à t=0.

Autrement dit, il existe tel que :

Mais par contre je ne comprends pas en quoi ça prouve que la moyenne ne dépend pas du temps.

En effet, sera multiplié par une proba dépendant de et par une proba dépendant de . Du coup on est pas sur d'avoir le même résultat après avoir calculé la somme ?

En fait après réflexion mon contre argument ne me semble plus si absurde, du coup je comprends plus.

En effet, dans la somme des probabilités, on somme sur les états : on a



Donc ici, peut être qu'on aura un truc du genre : il existe tel que : , mais vu qu'on somme sur les états r_0, cet état sera multiplié par une proba dépendant de r_1 et pas de r_0.
Donc, la somme dépendra du temps.

Je prends un exemple avec un système à deux spins : up ou down.

A t =0, je note : r0_+ : spin up, r0_- : spin down
A t, le spin down bascule en up et vice versa.

A t=0, j'ai donc :



A t j'ai donc :



J'ai donc deux moyennes qui sont opposées dans mon cas particulier. Le problème vient du fait que l'énergie qu'on prend dans la somme dépend de , état initial d'où on est partit, et pas de l'état final vers lequel on arrive.

Je sais pas où je pèche dans mes propos.

Merci beaucoup !