Oscillations amorties

[invite37f4f29b]

Bonsoir,

Je n'arrive pas à trouver la solution d'une équation différentielle à propos d'une oscillation amortie :

Le contexte est le suivant :

Oscillation harmonique mécanique amortie par des force de frottement visqueuse; donc, on a un ressort avec une certaine vitesse et l'équation différentielle est :

-kx.-lambda.dx/dt=m.d2x/dt2

Dans mon cours il est dit qu'on pose que la Vitesse = -lamba.dx/dt Je ne vois pas trop ce que symbolise le lambda et que w = racine carrée de (k/m). Et surtout, je n'arrive pas à tomber sur la bonne solution de l'équation différentielle qui est : x = Aexp(-lambda.t/2m).SINUS(racine carré de ((w2-(lambda/2m)^2).t + phi)

Désolé, je n'arrive pas à introduire de symboles mathématiques.

Si quelqu'un pouvait me donner un coup de main, ce serait sympa !

Merci d'avance !
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[theophrastusbombastus]

Bonsoir,
je vais reprendre de manière général l'oscillateur mécanique harmonique amortit libre, au vu de l’énoncé on va considérer seulement la force de rappel du ressort et les forces de frottement visqueux (et on place le repère sur le point d’équilibre du ressort çà évite d'avoir des équations degeux...)


ou h est une constante caractérisant "comment le milieux fluide amortit le mouvement"

on applique le PFD (en projetant tout sur l'axe où se meut notre système) :

ce que les physiciens aime bien ecrire :

où lambda est une manière détourné de faire apparaître h mais qui simplifie grandement les calculs que l'on verra plus bas, et on peut aussi dissimuler sous un terme que l'on appelle "facteur de qualité" que l'on ecris .

enfin, nous avons une equa dif du second degres a coef constant donc allé c'est partit on résout ça avec le polynôme caractéristique :

on calcul le discriminant :

(c'est là qu'on vois l'utilité mathematique du )
donc a partir de ca on obtiens 3 cas selon si est positif, negatif ou nul ce qui correspondra a ce que l'on nomme le régime amortit, critique et apériodique (je sais plus lequel correspond au quel mais on va voir ca de suite).

pour la solution de l'equa dif est :
(regime critique : le retour au point d'equilibre est le plus rapide)

pour on va posé donc les solutions :
(regime aperiodique : le systeme reviens a son point d’équilibre sans osciller)

et enfin pour on va posé donc les solutions :
(le regime pseudo périodique ou l'on vois bien l’amortissement comme la décroissance de l'exponentielle en fonction de a fortiori de )
on retombe bien sur votre fonction a ceci pres que ma somme est noté et que votre masse traine un peu n'importe comment dans vos equations...

j'ai la désagréable impression de m'etre trompé quelque part donc faudra me relire, mais l'idée est là, en esperant avoir pu vous aider.

[invite37f4f29b]

Merci beaucoup pour votre aide !

[invitecbfd6cd2]

J'ai vu ça en cour y'a pas longtemps (je suis en licence 3 Ingénerie d'étude mécanique) et notre prof nous à dit cela :
Wzero est la fréquence propre du système, la fréquence a laquelle il oscille sans "aide" extérieures ni frottements ( https://fr.wikipedia.org/wiki/Fr%C3%A9quence_propre )
Ca te facilitera la tache pour intuiter ce que c'est et non te balader des chiffres qui n'ont aucun sens pour toi!

[A voir en vidéo sur Futura]