Moment d'inertie d'une couronne

[Gohan.]

Bonjour tout le monde, j'aurais besoin d'un peu d'aide pour faire mon exercice:
le moment d'inertie par rapport à son axe de révolution d'un disque plein, homogène, d'épaisseur constante, est donnée par la formule: J= 1/2 MR².
calculer le moment d'inertie, par rapport au même axe, d'un solide obtenu en enlevant au disque précédent un disque de même axe et de rayon r; On exprimera ce moment d'inertie en fonction de des rayons R et r et de la masse m de la couronne ainsi obtenue.
J'ai commencé par faire la différence J-J'=1/2(MR²-m'r²) avec m' la masse du petit disque mais je ne sais pas vraiment continué. Après quelques recherches fait sur le net j'ai vu la solution mais on utilise des intégrales que je ne connais même pas. Merci d'avance
P.S: Je suis en classe de 1er
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[Resartus]

Il faut exprimer les masses M et m' en fonction des rayons R et r' (avec l'hypothèse que c'est un matériau homogène d'un certaine densité, avec une certaine épaisseur e)
Ensuite, on pourra reintroduire dans la formule la masse de la couronne qui vaut M-m' (utiliser l'identité remarquable a²-b²=..
dans ce cas R4-r'4=...)

[Gohan.]

Regarde mon raisonnement si c'est bon:
j'ai commencé par montrer que M/m'= (R/r)² maintenant on a R⁴-r⁴= (R²-r²)(R²+r²) en utilisant la relation
= [R²-(m'/M)R²](R²+r²)
= [(M-m')R²/M](R²+r²)
= mR²(R²+r²)/m
en transposant on obtient: (R⁴-r⁴)M/R²=m(R²+r²)
⇒ MR²-(r/R)²×r²×M = m(R²+r²)
⇒ MR² - (m'/M)r² × M = m(R²+r²)
⇒ MR²-m'r² = m(R²+r²)
or J=1/2(MR²-m'r²) ⇒ 2 J = m(R²+r²)
d'ou J = 1/2 m(R²+r²)
SVP regarder bien si mon raisonnement est bon et s'il y'a un autre chemin j'aimerai bien le connaitre.Merci

[invite6dffde4c]

Bonjour.
L’autre chemin (plus long) est de diviser la couronne en anneaux d’épaisseur ‘dr’. Calculer leur masse, puis intégrer r².dm entre le rayon interne et l’externe.

Une autre variante de ce Resartus vous a proposé est de dire que le moment d’inertie est la différence entre celui du disque plein et celui du disque de rayon « r’ ». À condition de ne pas se planter dans les masses de chacun, ce qui semble inévitable pour les débutants.
Au revoir.

[A voir en vidéo sur Futura]