Mécanique des fluides

[invitefa6910f2]

Bonsoir,
Je suis bloquée à une question d'un de mes exos donc je viens vous demander un peu d'aide.
On étudie un écoulement issu d'une source cylindrique perpendiculaire à (Ox) et donc le débit volumique par unité de hauteur vaut D=0.2*pi m²/s.
Je cherche à déterminer la vitesse de l'écoulement pour ensuite pouvoir calculer les fonctions phi et psi.

Je sais que le débit volumique est D=∫∫v.dS. Je pensais pouvoir écrire que D=∫∫v rdrdθ Δz. Je comptais ensuite intégrer θ entre 0 et 2pi mais je ne m'en sors pas vraiment...
Pourriez-vous m'aider ?

Merci d'avance
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[obi76]

Bonjour,

Je sais que le débit volumique est D=∫∫v.dS. Je pensais pouvoir écrire que D=∫∫v rdrdθ Δz.

La première équation est juste mais la seconde est fausse. Pour le premier on a bien des m^3/s, le deuxième est en m^4/s. Donc tout sauf un débit volumique...

Cela dit, un schéma serait plus pratique...

[invitefa6910f2]

Tout d'abord merci d'avoir répondu.

Comment est-ce que je peux calculer la vitesse alors à partir de D=∫∫v.dS ?
Quant au schéma, l'énoncé n'en fournit pas mais on peut schématiser le problème par un cylindre dont la hauteur s'exprime sur l'axe (Oz)

[obi76]

De rien,

là serieusement sans schéma je ne peux pas vous répondre. Déjà psi et phi, c'est quoi ? Dans ce que vous avez écrit, D est en m²/s, donc ce n'est pas un débit...

S'il n'y a pas de schéma, faites en un (déjà), mettez le ici et/ou l'énoncé complet. parce que là, à part jouer aux devinettes, on ne sera pas d'une grande aide

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitefa6910f2]

En fait, je vous avais quasiment déjà mis l'énoncé complet. Voici l'énoncé :
"On considère un écoulment issu d'une source cylindrique perpendiculaire à (Ox) et le débit volumique par unité de hauteur D = 0,2 m²/s.
Calculer les fonctions phi et psi pour cet écoulement."

Les fonction psi et phi sont deux fonctions définies dans les cours de mécanique des fluides.
Phi est un potentiel, c'est le potentiel des vitesses tel que v=grad(phi)
Psi est la fonction de courant telle que v=rot(psi)

Je vous ai dessiné un schéma pour le problème et comme aucun rayon n'est donné dans l'énoncé, j'ai fixé un rayon R pour le cylindre.
IMG_20160117_195516.jpg

[Resartus]

Est-ce un exercice de tout début de chapitre, ou plus avancé?
Si vous en êtes au tout début, et qu'on suppose que le champ de vitesse est constant, les réponses sont vraiment élémentaires. Inutile de mobiliser des intégrales pour si peu...

Si ce n'est pas le cas, cela veut dire que v est une fonction de r, et qu'il y a une condition aux limites du style v=0 sur les bords de l'écoulement (dans un tuyau par exemple). La difficulté, c'est que le profil de vitesse dépend de ce qu'on suppose sur le fluide en question.

On apprend souvent en premier les écoulements visqueux (poiseuille). En êtes-vous à ce genre de calcul?
On attend peut-être de vous que vous utilisiez la formule v=v0(1-r²/R² (si vous l'avez déjà vue?)

[invitefa6910f2]

Non, ce n'est pas un exo de début de chapitre mais c'est notre premier chapitre de mécanique des fluides. On a simplement étudié la statique avant.
Dans ce chapitre, on a déjà fait plusieurs exos mais aucun ne ressemble à celui-là.

Pour l'instant, on n'étudie que les fluides parfaits et je n'ai pas encore vu les écoulements visqueux. En faisant des recherches sur internet, j'ai lu des choses sur les écoulements de Poiseuille mais on ne les a pas vus en cours et j'ai vu que ces écoulements étaient l'objet de notre prochain TD. Donc je ne pense pas que ce soit ça pour cet exo.

Je ne crois pas avoir déjà vu cette formule auparavant. Elle est liée à l'écoulement des fluides ?

[Resartus]

Oups, oubliez ce que j'ai écrit, je viens de comprendre qu'il s'agit d'une source qui émet radialement (perpendiculairement à l'axe Oz) un fluide supposé incompressible. C'est pourquoi on parle de débit volumique par unité de hauteur. Pour la résolution, on sait que la circonference d'un cercle est 2.pi.r. Le volume émis par unité de temps et par unité de hauteur est donc v.2.pi.r, ce qui donne v en fonction de r.... La suite est des maths...

[invitefa6910f2]

Si je comprends bien, on a le débit qui vaut v*2*pi*r ?

[Resartus]

Oui. Pour le faire un peu plus lentement, la surface du cylindre est 2.pi.r.Z, le débit volumique est simplement v.S soit v.2.pi.r.Z et le débit volumique par unité de hauteur vaut bien v.2.pi.r. Comme v tend vers l'infini quand r tend vers zero, il faut sans doute prévoir un rayon minimum r0 qui est celui de la source et calculer les phi et psi seulement pour r>r0

[invitefa6910f2]

D'accord merci beaucoup !
Maintenant avec l'expression de v en fonction de r, je vais pouvoir finir mon exercice. Encore merci !