Coordonnées Cartésiennes <---> Sphériques <---> Polaires

[invite5bd43854]

Bonjour à tous,

on est entrain de faire un cours de mécanique, notamment, les changements de systèmes de coordonnées... et je ne comprends pas pourquoi les formules de passages,

- des coordonnées cylindriques aux coordonnées cartésiennes s'écrit :

x = r cos (téta) et r = (x² = y²)^1/2
y = r sin (téta) et (téta) = arctan (y/x) [Pi]

- des coordonnées sphériques aux coordonnées cartésiennes :

x = r sin (téta) cos (fi) et r = (x²+y²+z²)^1/2
y = r sin (téta) sin (fi) et (téta) = arctan (((x² + y²)^1/2)/z) [Pi]
z = r cos (téta) et (fi) = arctan y/x [Pi]

Aussi, je ne comprends pas pourquoi dans la base cartésienne (Ux, Uy, Uz), les coordonnées de (Ur, Utéta, Ufi) sont :

Ur (sin (téta) cos (fi) / sin (téta) sin (fi) / cos (téta))
Utéta (cos (téta) cos (fi) / cos (téta) sin (fi) / -sin(téta) )
Ufi (-sin (fi) / cos (fi) / 0)

Merci à tous pour les explications et bonne soirée =)
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[velosiraptor]

Bon, je tente une explication sans schéma (y en a partout) : par exemple en sphériques, le vecteur unitaire uR --> projeté sur l'axe Oz : uRcos(théta) et projeté dans le plan Oxy c'est uR.sin(théta) puis sur Ox : uR.sin(théta).cos(phi) et sur Oy uRsin(théta).sin(phi). Mais, norme(uR) = 1 on a finalement : uR = [sin(théta).cos(phi) ; sin(théta).sin(phi) ; cos(théta)] dans {O,x,y,z}
Pour uPHI celui-ci est déjà dans le plan Oxy, (on peut le reporter à l'origine "O" pour "mieux voir" et se faire une vue de dessus c-à-d dans le plan Oxy) : uPHI = -sin(phi).uX + cos(phi).uY.

Essaie avec uTHETA et vérifie que tu obtiens bien le bon résultat. Mais, ce n'est qu'une question de projections comme sur un cercle trigo. Par exemple pour uR, on commence par faire les projections dans le plan contenant uZ et uR (seul théta intervient) ainsi, c'est réglé pour uZ, il reste à projeter à nouveau la composante du plan Oxy sur uX et uY ...

Tiens nous au courant.

[invite5bd43854]

Je vous remercie pour l'explication.

Seulement, j'ai un peu de mal à visualiser la projection de Ur sur [Ox), il y a téta et phi qui interviennent (et pas directement dans le triangle formé par Ox, Ur et le côté opposé), ça ne vous dérangerait pas de m'expliquer encore ceci ?

Bonne journée,

[velosiraptor]

En fait, dans un 1er temps, uR (norme 1) peut être projeté directement sur Oz (d'où le cos(théta) selon uZ) et "seulement" dans le plan Oxy (d'où le sin(théta)). Cette projection donne donc un vecteur (de norme 1.|sin(thèta|) faisant un angle phi avec l'axe Ox, il est alors facile de projeter ce vecteur sur Ox (vecteur.cos(phi)) et sur Oy (vecteur.sin(phi)) ==> d'où les valeurs algébriques pour ses coordonnées dans (Oxyz) [1.sin(théta)cos(phi) ; 1.sin(théta)sin(phi) ; 1cos(théta)]

En coordonnées cylindriques, regarde cette fois comment est le vecteur normé uR : directement dans le plan (Oxy) et il fait un angle (aïe on l'appelle souvent théta celui-ci, mais il "correspond" au phi des sphériques) il n'y a donc pas de "pré"-projection sur Oxy (il y est déjà), d'où son expression selon uX, uY et uZ : uR(cyl) [cos(théta) ; sin(théta) ; 0]
Toujours en cylindriques, uTHETA est simplement tourné de +Pi/2 par rapport à uR, et on peut par exemple utiliser le résultat de uR en remplaçant théta par (théta + Pi/2) ce qui donne :
uTHETA [-sin(théta) ; cos(théta) ; 0]
Mais on peut aussi faire un petit schéma en vue de dessus (plan Oxy) et obtenir ce résultat.

Ca va mieux ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite741b54dd]

Bonsoir,

Ceci pourra vous être utile (visualisations en flash avec possibilité de changer le point de vue) : coordonnées et flash.

Cordialement

[feedblack]

Bonsoir,
Ceci pourra vous être utile

Merci pour ce lien, c'est pas mal.

[invite5bd43854]

Bonsoir,

Je vous remercie pour les explications et pour le lien. Je comprends mieux maintenant.

Bonne soirée,