Transfert thermique: tige

[invite814a7e57]

Bonjour,

voici l'énoncé:

Si l'on considere qu'on a une tige (section S constante) avec sa conductivité thermique connue .
On imagine qu'on la plonge dans un milieu qui a une température Te. Son périmetre (de la tige) est noté p et on considere que l'une de ses extrémité est portée a la température T0 constante.

On fait l'hypothese que la tige est assez longue pour considéré qu'il n'y a pas d'échange de chaleur à l'autre extrémité. Le régime permanent est établit et on note h le coefficient de transfert superficiel entre la surface lat et la tige.

Il me faut écrire le bilan d'énergie pour la surface fermée Sf délimitée par les plan x et x+dx et la surface latérale de la tige. En exprimant le flux sur chaque des surfaces constituant Sf, il me faut déterminée l'équation différentielle satisfaite par T(x) et si on pose Teta(x) = T(x)- Te on doit obtenir Teta(x)=Teta0e^-(x/delta)
Il me faut déterminé delta..

Alors voilà ce que j'ai fait :
J'ai considéré que dQ(entrée)- dQ(sortie)=dQ(stockée)+dQ(flux partie)

Donc au final, on retrouve P= d²T/dx² et je vois bien que j'obtiendrais un résultat me donnant une solution de la forme ax+b et pas la solution voulue car dT/dt = 0 (regime permanent)

Merci d'avance pour votre aide
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[Resartus]

Pas très clair, mais j'ai l'impression que vous avez oublié que le flux latéral est proportionnel à l'écart de température
En régime permanent on a dT/dt=0 partout et tous les flux sont constants. On peut raisonner directement sur ces flux sans passer par les dQ
Le flux qui part latéralement est égal au delta de flux traversant (la différence entre le flux qui arrive d'un coté de la tige et celui qui repart de l'autre coté). Or ce flux qui traverse dépend du gradient de température entre les deux faces de la tranche d'épaisseur dx.
L'équation est donc d(lambda.S.dT/dx)=h.P.(T-Te).dx soit d²T/dx²=k(T-Te).
Cette équation ne donne pas des solutions en polynome mais en exponentielle (il y a deux racines, mais l'une doit être exclue, puisque le flux doit être nul à l'infini)

[invite814a7e57]

Merci mais k représente quoi ?

[Resartus]

Je vous ai plus qu'à moitié mâché le travail, non? Il ne doit pas être trop difficile d'exprimer k en fonction de lambda, h, S, P..
Et attention que c'est la racine carrée de k qui va apparaitre dans l'exponentielle

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite814a7e57]

ah non mais j'arrive a exprimé k mais je voulais savoir si ce coefficient avec un nom particulier car je sais par exemple qu'on a deja utilisé " D " qui est la diffusivité et qui s'exprimait en fonction de lambda, p et c.

Sinon merci

[Resartus]

Non, car c'est trop spécifique du barreau utilisé (périmètre et surface). En général, on donne un nom à des caractéristiques plus "universelles"