Equation du mvt d'un solide le long d'une parabole

[invitee7bfc344]

bonjour à tous
je fais appel à mes souvenirs de physique pour trouver l'équation d'un mobile glissant sur une parabole
j'ai écrit que et que et j'en aboutis à
Mais je ne suis pas sûr de moi et de toutes façons, vu l'équa diff...
Je me demande aussi comment généraliser à une autre courbe

ps questions sur le forum : le latex semble parfois buguer c'est normal ?

Vincent
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[Resartus]

Je n'ai pas trop compris comment vous arrivez à votre équation, mais il me semble plus simple d'écrire l'équation de conservation de l'énergie mécanique :
1/2mv²+mgh=cste

Ce qui donne (sauf erreur) 1/2 mx'²(1+4x2)+ mgx2=mga² où a est la distance latérale maximum

Qu'on peut transformer en : racine((1+4x²)/g.(a²-x²))dx=dt

C'est une fonction intégrable
https://www.wolframalpha.com/input/?...-x%C2%B2%29%29
(j'ai pris ici a=1)

On ne peut pas inverser la fonction pour exprimer x en fonction de t, mais on reconnait bien la forme pseudosinusoidale

[invitee7bfc344]

salut
pour mon équation j'ai juste écrit la relation de newton :
où j'appelle la force de réaction de la parabole, c'est à dire la force du toboggan qui fait que le mobile reste sur la parabole ; comme elle est perpendiculaire à la tangente en qui si je ne m'abuse a pour vecteur directeur alors je projette la relation sur et j'obtiens ce qui est indiqué mais mathématiquement je sais pas m'en défaire.

ensuite pour ce que tu dis, on arrive efectivement à intégrer un truc du style ce qui se transforme en et là je vois pas trop ça ressemble à du arcsin
mais ton lien wolfram alpha montre une primitive bizarre où tout se simplifie il ne reste plus qu'une sorte de E(arcsin(x)|-4) avec cette barre verticale et ce E qui signifient on ne sait quoi...
mais bon c'est intégrable

si on généralise il reste à intégrer une sorte de ...

[Resartus]

Le E(phi|k) est une intégrale elliptique.

Voir ceci par exemple :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Int%C3..._esp.C3.A8ce_2

Effectivement, Wolfram est un peu stupide, car il n'a pas simplifié les racines...

C'est surtout la forme qui est intéressante : comme le terme phi est un arcsin(x), on a une fonction dont l'inverse ressemble à un sinus.

et dont on peut retrouver la pseudo période par exemple, qui vaut 4E(pi/2,k)

[A voir en vidéo sur Futura]