Calcul de la flèche d'une poutre encastrée des deux côtés

[invitea8e93cad]

Bonjour,

Je suis en alternance et je rencontre une difficulté à mon boulot sur un calcul de flèche sur une poutre. La poutre (longueur L) est encastrée des deux côtés (point A et B), sur cette poutre s'appliquent deux forces (nommés F) à une distance a de chaque encastrement. Je trouve Ra=Rb=F (Réaction au point A et B) et Ma=Mb=[Fxax(L-a)]/L (Moment au point A et B). J'ai trouvé une formule de flèche correspondant à mon cas dans un livre f=[Fxa²x(3L-4a)]/24xExIz mais impossible de retrouver ce résultat manuellement (la formule est juste car j'ai vérifié sur RDM6). Pouvez vous m'aider à retrouver ce résultat merci par avance.

AC=a, DB=a et AB=L et une force F s'applique au point C et D. J'ai utilisé ExIzxy"=Mfz(x) pour calculer la flèche mais sans succès

Cordialement
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[Resartus]

C'est bien à partir du moment fléchissant en tout point de la poutre intégré deux fois qu'on trouve la déformée (et donc la flêche au point milieu)

Si on appelle M le moment fléchissant à l''extrémité gauche x=-L/2, on a une décroissance linéaire jusqu'au point d'application de la première force
m(x)= M-F(L/2-x) jusqu'au point -(L/2-a), puis moment constant de -(L/2-a) à +(L/2-a) puis croissant de nouveau jusqu'au point droit où il vaut de nouveau M.

Le système étant hyperstatique, il y a une indétermination pour trouver ce moment fléchissant M, mais les considérations de symétrie vont permettre de le trouver, car la dérivée de la déformée doit valoir zero au point milieu...

Les calculs sont un peu soigneux, mais pas de difficulté majeure...

[invitea8e93cad]

Merci resartus pour ta réponse mais enfaite mon problème c'est le calcul de flèche (ce qui avant je l'ai déja trouvé). Quand j’intègre mon Mfz(x) sur toute la poutre avec les conditions aux limites v'(L)=0 et v(L)=0, je trouve une formule et après je calcul v(x=L/2), car c'est au centre de la poutre que la flèche est maximale je ne retombe jamais sur f=[Fxa²x(3L-4a)]/24xExIz. Je suis censé prendre mfz(x) pour 0<x<L? ou a<x<L-a? Quel valeur de mfz(x) dois-je trouver car j'ai essayé dans tout les sens et j'aboutis à rien.

Merci

[Resartus]

Je n'avais pas fait attention que vous aviez déjà trouvé cette valeur du moment fléchissant de départ.
Pour la suite, voici mon calcul :
La double intégration sur la première partie de 0 à a donne la formule suivante :
Intégrale première Fa(L-a)/L.x-F.x^2/2 qui vaut en a Fa^2.(L-a)/L -Fa^2/2 soit Fa^2/2L*(L-2a)
intégrale seconde Fa(L-a)/L*x²/2-Fx^3/6, qui vaut F*a^3*(L-a)/2L-Fa^3/6 soit Fa^3/L*((L-a)/2-L/6)=Fa^3/6L*(3L-4a)

Ensuite de a à L/2 on intègre un moment fléchissant constant égal à -Fa^2/L
intégrale première : Fa^2/2L(L-2a)-Fa^2/L*(x-a) ce qui donne bien zero en L/2
Intégrale seconde : Fa^3/6L*(3L-4a)+Fa^2/2L(L-2a)*(X-a)-Fa^3/4L*(x-a)^2 qui en L/2 donne la valeur suivante : Fa^2/24L*(3L^2-4a^2).
Après passage aux déformées, on a donc une fléche égale à Fa^2*(3L^2-4a^2)/24LEI

Pour une force au milieu égale à 2F on retrouve bien une valeur de flèche égale à F.L^3*2/24/8= 2F*L^3/192EI...

La formule que vous avez recopiée est donc bien fausse...A revérifier sur votre logiciel...Ou alors vous avez oublié les carrés (mais il manque aussi le L en bas)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea8e93cad]

Re Bonjour

Entre 0 et a
Intégrale seconde je pense que vous vous êtes trompé je trouve Fa^3/6L*(2L-3a) car (integrale premiere : Fa/L*(L-a)*x-F*x²/2 puis intégrale seconde Fa/L*(L-a)*x²/2-F*x^3/6, avec les bornes [0;a] on trouve Fa^3/2L*(L-a)-Fa^3/6 puis Fa^3/6L*(2L-3a)

De même entre a et L/2
Je trouve intégrale première -Fa²/L*x puis integrale seconde -Fa²/L*x^2/2, avec les bornes [a;L/2] on trouve -Fa²/2L*(L²/4-a²)=-Fa²/24L*(3L²-12a²)
Je suis perdu...