Mécanique galiléenne du solide ponctuel, demande de résolution d'un Pb

[daniel-fr06]

Bonjour, quelqu'un pourrait-il me résoudre l'équation différentielle suivante ?

Il s'agit d'un avion qui fait une boucle parfaite avec transfert d'énergie cinétique et potentielle, et avec une traction hélice constante du dixième de son poids. On néglige la trainée.

En coordonnées polaires, angle téta fonction du temps t
R est le rayon de la boucle connu
g est l'accélération de la pesanteur connue

l'équation est:

R*( d2 téta sur dt2) +g*sin(téta)=g/10

Je cherche les valeurs de vitesse avion à chaque huitième de boucle donc R*(dtéta/dt) pour chaque Pi/4.

En réalité, la trainée, les frottements, la réduction des gaz en descente empêcheront l'accélération moyenne de la vitesse.

J'ai déjà fait le modèle simple sans frottement avec l'unique transfert entre énergie potentielle et cinétique mais avec la traction hélice, ça se complique.

Merci beaucoup,
Daniel, instructeur voltige qui cherche à modéliser la boucle pour l'enseigner aux élèves pour qu'ils la fassent ronde.
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[Tifoc]

Bonjour,

On ne peut pas résoudre un problème réel en faisant des hypothèses irréelle. La trainée n'est pas négligeable, et la portance n'est pas oubliable...
Sinon vous allez tout simplement démontrer qu'il est impossible de réaliser une boucle ronde.

Désolé...

[calculair]

Bonjour,

Le sujet est intéressant, mais je dois sortir donc pas le temps de tout mettre en équation

Il ya la traction helice = mg /10

le poids mg

La trainée = 1/2 Cx d S V^2

La portance 1/2 Cz d S V^2

Pour que la boucle soit ronde il faut que la projection de toutes ces forces sur le vecteur rayon soit constant... Il n'est donc pas évident que la contrainte de traction = m g/10 = constante puisse être satisfaite.

[LPFR]

Bonjour.
Je pense que votre modèle, en plus d’être très approximatif, il n’est pas d’une grande utilité pour un apprenti voltigeur.
Je pense que peu des voltigeurs depuis plus d’un siècle, auraient pu comprendre la solution de l’équation différentielle.
Par contre, ils tous compris que quand sa monte ça ralentit et que quand ça descend ça accélère.
Il si vous avez un apprenti qui ne le comprend pas, donnez-lui un poids attaché à une ficelle et demandez-lui de faire tourner le poids sur un cercle vertical.
Au revoir.

[A voir en vidéo sur Futura]

[daniel-fr06]

Bonjour, merci pour votre coopération, mon interrogation a trouvé sa réponse. L'équation différentielle est résolue pour la vitesse en fonction de l'angle, ce qui me suffit. J'ai fait une feuille de calcul excel dont un exemple est imprimé par PDF creator que je joins à ce message pour ceux qui sont intéressés.
Cordialement.

Un grand merci au forum de mathématiques.net où on m'a indiqué la résolution en multipliant chaque membre de l'égalité par dtéta/dt puis en intégrant simplement.

http://www.les-mathematiques.net/pho...89#msg-1250489

[Tifoc]

Re-

Puis je me permettre, avec bienveillance, une petite mise en garde "philosophique" ?
Les mathématiques (à ce niveau en tout cas) sont un langage, ni plus, ni moins. Extrêmement élaboré certes, mais dont on ne peut extraire de vérité que liée au contexte.
Un mathématicien est capable de résoudre n'importe quelle équation : ce n'est qu'un "jeu d'écriture". De même que la phrase la souris mange le chat est exacte d'un point de vue de la langue, bien plus discutable en terme de sens (sauf dans un conte pour enfants) .
Donc ce n'est pas parce que l'équation que vous avez posée a été résolue, que sa résolution donne un résultat physique, réel, tangible, vérifiable.
Je lis entre autre deux choses terriblement fausses dans votre document :
- trainée indépendante de la vitesse : parlons nous bien de la même trainée ? Parce que celle qui figure dans mes bouquins est fonction de la vitesse au carré (comme indépendance on fait mieux...)
- accélération de g/10, autrement dit constante : g l'est bien (constante) et donc forcément l'accélération subie par l'avion ne l'est pas vu son mouvement.

Cordialement,