Bonjour à tous,
Je suis en PCSI et je m'interroge sur une démonstration de mon prof de physique pour montrer que p(z)+pgz=cste (avec un axe ez vertical ascendant).
A une étape, on a :
grad(p(z)+pgz)=0 (il y a des vecteurs sur le 0 et le grad)
En déduire que p(z)+pgz=cste est une propriété du gradient ? Ou est-ce seulement parce que l'on peut remplacer le gradient par une dérivée totale par rapport à z car l'intérieur du gradient ne dépend ni de x ni de y ?
Merci d'avance,
Bonne soirée
Salut. En cartésiennes, grad(u) = [drond]u/[drond]x. ex + [drond]u/[drond]y. ey + [drond]u/[drond]z. ez (grad vecteur, ex, ey et ez vecteurs unitaires selon Ox, Oy et Oz)
Ici, la fonction u ne dépend que de la variable "z", et donc, les composantes selon ex et ey sont nécessairement nulles, par contre, celle selon ez n'est nulle que si u = Cste par rapport à la variable "z".
Dans ton cas, p(z)+pgz=Cste.
D'accord, mais si on avait une composante selon ex qui était non nulle, on aurait eu le droit de dire que l'intérieur est donc constant quand même ? (dans un autre contexte, je sais bien qu'ici, la composante selon ex est nulle)
Up please
Bonjour.
Effectivement, si cette fois, u = u(x,y,z) alors, on doit avoir, si grad(u) = 0 :
drond[u]/drond(x) = 0 idem par rapport à y et z !
En fait, le gradient d'une fonction est nul là où u(x,y,z) reste constante. Par exemple, dans un champ de gravitation uniforme, pour un liquide au repos, le gradient de pression est nul si l'altitude "z" reste constante ==> les plans à z = Cste sont des plans de même pression.
Par contre, si le liquide est mis en rotation uniforme (bécher avec agitation par exemple) cette fois la pression ne dépend pas "que" de "z" du fait de l'existence sur les cellules de fluide, d'une force d'inertie centrifuge (dm.oméga².r où r² = x² + y²) et là les plans à z = Cste ne sont plus isobares (p = p(z,r)).
Ah, donc je suis pas sûre d'être au clair :
Si on a grad(u)=0 avec u=u(x,y,z), alors :
1. les dérivées partielles de u par rapport à x,y,z sont nulles
2. u est une constante
Ai-je bon ?
Merci et désolé si mes questions ont l'air bête ...
salut,Envoyé par Rafaelle55
oui c'est tout bon. pour t'en assurer il te suffit d'écrire explicitement ton gradient (un vecteur) et de contempler le résultat. pour des vecteurs (indépendants) de base i, j et k et d/dx la dérivée partielle par rapport à x (de même pour les deux autres), tu as :
grad u = du/dx i + du/dy j + du/dz k
pour que le vecteur soit nul il faut que ses trois composante le soit, ce qui donne ton premier point. ton deuxième point est trivial par intégration.
en espérant que ça t'aide à t'éclairer.
mmanu
La voie ardue mais juste du révolutionnaire conservateur : bâtir en détruisant le minimum.
Merci beaucoup !
