Formules RDM : Moment de flexion et flèche

[PPathfindeRR]

Bonjour,

Je recherche une (ou deux) formule(s) qui me permettrait d’obtenir le moment de flexion M dans une section d’abscisse (x) pour une poutre sur deux appuis (A et B), sans porte-à-faux et une charge P triangulaire et symétrique s’étendant sur toute la longueur L de la poutre (P étant la valeur maximale de l’effort, soit P = pL/2)

En cherchant sur le net, je ne trouve que la formule pour le moment de flexion maximal, soit :
Mmax = M(L/2) = PL/6

Est-ce quelqu’un connait les formules :

Pour 0 < x < L/2 ; M(x) =

Pour L/2 < x < L ; M(x) =

Et même question pour la déformée ; Je n’ai que la formule pour la flèche maximale, soit :
fmax = f(L/2) = PL^3/60EI

Est-ce quelqu’un connait les formules :

Pour 0 < x < L/2 ; f(x) =

Pour L/2 < x < L ; f(x) =

Je tiens à préciser que je ne suis pas ingénieur et que j’ai uniquement des notions très élémentaires en RDM.

Merci pour vos réponses.
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[Jaunin]

Bonjour, PPathfindeRR,

Vous pouvez regarder page 50 et remplacer a et b par L/2, si cela peut déjà vous aider.
Cordialement.
Jaunin__

http://l2pro.perso.sfr.fr/LIVRES/M%E...at%E9riaux.pdf

[PPathfindeRR]

Oui, je possède ce livre.

Le premier problème, c’est que dans ce livre, pour une charge triangulaire et symétrique, on ne donne que Mmax et fmax (à x = L/2).

Et pour les formules de M(x) et f(x) il est noté :
« Nous supposons que a < b et que P est la valeur de l’effort le plus important au sommet du triangle »

Je prends un exemple :

L = 10 m
P = 150 daN

Pour l’exemple, disons que je prenne un IPE 180 pour dire d'avoir Iy ;
Moment d’inertie Iy = 1317 cm^4

Mmax = M(L/2) = PL/6 = 150*10/6 = 250 daN.m
fmax = f(L/2) = PL^3/60EI = (150*10^3)/(60*2.1*1317) = 0.9 cm

Pour l’instant, ces valeurs sont bonnes (si je ne me trompe pas)

Maintenant avec la formule du livre donnant M(x) :

à x = L/2 :

pour 0<x<a ;

M(x) = (Px/6a)(a(L+b)-3x^2)
M(5) = ((150*5)/(6*5))*(5*(10+5)-3*5^2)
M(5) = 0 daN.m

pour a<x<L ;

M(x) = (P/6b)(L-x)(2Lx-x^2-a^2)
M(5) = (150/(6*5))*(10-5)*(2*10*5-5^2-5^2)
M(5) = 1250 daN.m

Bref, je ne vais pas plus loin, Y’a déjà un problème dans le résultat !

soit "a" doit être strictement inférieur à "b" ?
(ce qui n'est pas mon cas, mon cas est a = b , soit un chargement symétrique)

[PPathfindeRR]

Re-

Je pense enfin avoir trouvé ma réponse en fouillant un peu plus sur le net !

Je reprend avec les mêmes valeur :

CHARGE TRIANGULAIRE SYMETRIQUE

L = 10 m
P = pL/2 = 30*10/2 = 150 daN
p = 2P/L = 2*150/10 = 30 daN/m
Iy(IPE180) = 1317 cm^4

MOMENT DE FLEXION

Pour 0 < x < L/2 ;

M(x) = (pL/4)x-((px^3)/(3L))
M(0) = (30*10/4)*0-((30*0^3)/(3*10)) = 0 daN.m
M(2.5) = (30*10/4)*2.5-((30*2.5^3)/(3*10)) = 171.875 daN.m
M(L/2) = M(5) = Mmax = (30*10/4)*5-((30*5^3)/(3*10)) = 250 daN.m

Pour L/2 < x < L ;

M(x) = (pL/4)(L-x)-((p(L-x^3))/(3L))
M(L/2) = M(5) = Mmax = (30*10/4)*(10-5)-((30*(10-5)^3)/(3*10)) = 250 daN.m
M(7.5) = (30*10/4)*(10-7.5)-((30*(10-7.5)^3)/(3*10)) = 171.875 daN.m
M(10) = (30*10/4)*(10-10)-((30*(10-10)^3)/(3*10)) = 0 daN.m

Mmax à x = L/2 ;

Mmax = pL^2/12
Mmax = 30*10^2/12 = 250 daN.m

DEFORMEE

Pour 0 < x < L/2 ;

f(x) = ((px)/(960EIL))(25L^4-40L^2x^2+16x^4)
f(0) = ((30*0)/(960*2.1*1317*10))*(25*10^4-40*10^2*0^2+16*0^4) = 0 cm
f(2.5) = ((30*2.5)/(960*2.1*1317*10))*(25*10^4-40*10^2*2.5^2+16*2.5^4) = 0.637 cm
f(L/2) = f(5) = fmax = ((30*5)/(960*2.1*1317*10))*(25*10^4-40*10^2*5^2+16*5^4) = 0.904 cm

Pour L/2 < x < L ;

f(x) = ((p(L-x))/960EIL))(25L^4-40L^2(L-x)^2+16(L-x)^4)
f(L/2) = f(5) = fmax = ((30*(10-5))/(960*2.1*1317*10))*(25*10^4-40*10^2*(10-5)^2+16*(10-5)^4) = 0.904 cm
f(7.5) = ((30*(10-7.5))/(960*2.1*1317*10))*(25*10^4-40*10^2*(10-7.5)^2+16*(10-7.5)^4) = 0.637 cm
f(7.5) = ((30*(10-10))/(960*2.1*1317*10))*(25*10^4-40*10^2*(10-10)^2+16*(10-10)^4) = 0 cm

fmax à x = L/2 ;

fmax = pL^4/(120EI)
Mmax = 30*10^4/(120*2.1*1317) = 0.904 cm


Ca m'a l'air bon... du moins les résultats ne me paraissent pas déconnant !

Bon après je précise que j'ai pris des valeurs au pif pour l'exemple...
concrètement les charges pour le moment doivent être pondérées (1.35G et/ou 1.5Q), tandis que pour la flèche les charges sont non pondérée.

Mais tout de même, comme je n'ai pas de logiciel pour vérifier, si vous pouvez me confirmer ou corriger ces formules ?
(ça me rassurerait de ne pas avoir déniché des formules erronées !)

Merci encore.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Jaunin]

Bonjour,
Je vais regarder dans un moment.
Pour vos formules un programme qui peut vous intéresser.
Cordialement.
Jaunin__

http://fr.ptc.com/product/mathcad/download-free-trial

[PPathfindeRR]

oups, j'ai fait une erreur de frappe !

Sur les dernière ligne qui donne 0 cm, c'est " f(10) " et non " f(7.5) " ;
et également " fmax " et non " Mmax " qui donne 0.904 cm
Mais je pense que vous l'aurez compris !

Et désolé pour la façon d'écrire mes puissances ! je n'ai pas trouvé mieux que ^
je peux toujours le récrire et le poster en PDF si ça peut aider à la lecture.

[Jaunin]

Je n'ai pas très bien compris :

CHARGE TRIANGULAIRE SYMETRIQUE

L = 10 m
P = pL/2 = 30*10/2 = 150 daN
p = 2P/L = 2*150/10 = 30 daN/m

D'une charge triangulaire vous passez à une charge linéique sur toute la poutre ou je n'ai pas vu la transformation.

[PPathfindeRR]

Heu...

Il s'agit bien du charge triangulaire, qui débute sur l'appui A et prend fin sur l'appui B.
Le sommet du triangle et à L/2.

Il s'agit bien d'une charge répartie mais non uniforme (soit triangulaire, dont le max de la charge et à L/2).

C'est l'unité en daN/m qui porte à confusion ?
Je ne sais pas quelle unité il faut mettre pour une charge triangulaire ! mais comme le maximum de l'effort (noté grand P) et égal à pL/2 (petit p);
Et que les formules trouvées utilise petit p, j'ai converti grand P (=150) en petit p (=30) pour garder les mêmes valeurs initiale.

Mais effectivement, parler en daN/m, sous-entend une charge linéique, soit pL (uniformément répartie).

Après je me suis peut-être tromper dans la conversion, j'ai peut-être mal compris quelque chose !
grand P vaut bien la charge globale en daN ?

[PPathfindeRR]

Lorsque l'on dit P=150daN
par exemple pour Mmax = M(L/2) = PL/6

P correspond à l'effort maximum ? comment je converti pour connaitre la valeur de petit p ?
par exemple pour Mmax = M(L/2) = pL^2/12

je fait bien p = 2P/L ?

[PPathfindeRR]

bonjour,

Il y a un truc bizarre dans le livre (message #2) ! un coup grand P représente l’effort maximum, un coup la charge totale !...
Comment ne pas faire d’erreur ! à moins que je fasse erreur ! ?

Je reprends avec toujours les mêmes valeur pour une poutre de 10 m

CHARGE TRIANGULAIRE SYMETRIQUE

P = 150 daN (P étant la charge totale, soit P = pL/2 = 30*10/2 = 150 daN)

p = 2P/L = 2*150/10 = 30

MOMENT DE FLEXION MAXIMUM (avec grand P, comme dans le livre) :

Mmax = M(L/2) = PL/6 = 150*10/6 = 250 daN.m

Ou bien, avec petit p :

Mmax = M(L/2) = pL^2/12 = 30*10^2/12 = 250 daN.m

CHARGE LINAIRE UNIFORMEMENT REPARTIE

p = 15 daN/m (p étant la charge linéaire par mètre)

P = 150 daN (P étant la charge totale, soit P = pL = 15*10 = 150 daN)

MOMENT DE FLEXION MAXIMUM (avec petit p, comme dans le livre) :

Mmax = M(L/2) = pL^2/8 = 15*10^2/8 = 187.5 daN.m

Ou bien, avec grand P :

Mmax = M(L/2) = PL/8 = 150*10/8 = 187.5 daN.m

Ce qui parait normale, car pour une même charge totale de 150 daN (une première fois triangulaire, puis la seconde fois linéaire), le moment de flexion maximum sera plus important pour la charge triangulaire symétrique, car je ramène une plus grande partie de cette charge totale vers le centre de la poutre, ce qui augmente le moment de flexion)

Bref, Petit p est donc bien une charge répartie et grand P une charge totale.

Contrairement à ce qui est noté dans le livre pour le Mmax d’une charge triangulaire symétrique, grand P n’est pas l’effort maximum ! ?
Par exemple pour la charge triangulaire symétrique, l’effort minimum vaut 0 daN (aux appuis A et B) et l’effort maximum vaut 30 daN à L/2, et la charge totale grand P (différent de l’effort maximum) vaut 150 daN.

Par contre, toujours dans le livre, pour une charge croissante (charge triangulaire monotone, pour le moment de flexion maximum dont la formule note grand P), et en prenant la charge totale grand P = 150 daN (soit P = pL/2 = 30*10/2 = 150 daN), ça nous donne :

Mmax = (2PL^2)/(18√3) = (2*150*10^2)/(18√3) = 962.250 daN.m

C’est bien trop élevé ! non ? ça dépasse carrément le Mmax d’une charge triangulaire symétrique (pour une même charge totale de 150 daN) de plus que pour une charge croissant (de A vers B) la charge et le Mmax se déporte vers l’appui B !
Grand P est cette fois-ci l’effort maximal (soit 15 daN) est non la charge totale ! ? il devrait être noté petit p, soit :

Mmax = (2pL^2)/(18√3) = (2*15*10^2)/(18√3) = 96.225 daN.m

Ils auraient même dû simplifier par :

Mmax = (pL^2)/(9√3) = (15*10^2)/(9√3) = 96.225 daN.m

Enfin… pouvez-vous me confirmer l’analyse que je fais là, puis confirmer ou corriger les formules de mon message #4 ?

Merci.

[Jaunin]

Bonjour,
Par simulation avec uniquement la charge sans le poids propre de la pièce j'ai une flèche de 4.76 [mm].
Une contrainte de 139.2 [MPa] aux appuis et une contrainte de cisaillement de 73.6 [MPa]
Je vais essayer par calcul à la main.
Cordialement.
Jaunin__

[PPathfindeRR]

Par simulation avec uniquement la charge sans le poids propre de la pièce j'ai une flèche de 4.76 [mm].

0.416 cm ! hum...
une flèche de 0.904 cm ne serait pas bon ?
c'est ennuyeux ça ! ça voudrait dire que la formule pour la charge triangulaire symétrique que j'ai déniché n'est pas bonne

Une contrainte de 139.2 [MPa] aux appuis et une contrainte de cisaillement de 73.6 [MPa]

je ne comprend pas ce que ça veut dire.
désolé, les quelques notions en rdm que j'ai sont limitées !

Pour vérifier avec votre logiciel, je vous met mon p'tit calcul à la main pour la vérification d'un IPE 180, poids propre compris :
(Je prend un IPE 180 pour rester sur les mêmes valeur, mais normalement avec une si petite charge ça doit passer plus qu'à l'aise !!! )

PROFIL IPE 180

Iy = 1317 cm^4
Wpl.y = 166.4 cm^3
Avz = 11.3 cm^2

fy = 27.5 daN/mm^2 (S275 et tf < 16mm)
E = 21000 daN/mm^2

L = 10 m

g (poids propre linéaire) = 18.8 daN/m
G (poids propre total) = gL = 18.8*10 = 188 daN

Charge pondérée :

1.35g = 1.35*18.8 = 25.38 daN/m
1.35G = 1.35*188 = 253.8 daN

CHARGE TRIANGULAIRE SYMÉTRIQUE

L = 10 m
p (effort maximal) = 30 daN
P (Charge totale) = pL/2 = 30*10/2 = 150 daN

Charge pondérée :

1.35p = 1.35*30 = 40.5 daN
1.35P = 1.35*150 = 202.5 daN

REACTION AUX APPUIS

RA = RB = (1.35G+1.35P)/2 = (253.8+202.5)/2 = 228.15 daN

VEd = RA = RB

VERIFICATION Vpl.Rd > VEd

Vpl.Rd = (Avz*fy)/(√3*YM0) = (1130*27.5)/(√3*1) = 17941.16 daN

Vpl.Rd = 17941.16 > VEd = 228.15

MOMENT DE FLEXION

Comme le Mmax est pour le même x (à L/2), je peux directement cumuler la charge triangulaire symétrique et le poids propre (je pense).
Je pourrais utiliser la formule qui donne directement le Mmax pour la charge triangulaire symétrique, mais je vais utiliser la formule qui donne M(x)… puisque c’est pour la tester !

Pour la charge triangulaire symétrique : M(x) = (pL/4)x-((px^3)/(3L))
Pour le poids propre du profil : Mmax = pl^2/8

Mmax = M(5) = (40.5*10/4)*5-((40.5*5^3)/(3*10)) + (25.38*10^2/8) = 654.75 daN.m

MEd = Mmax

VERIFICATION Mpl.Rd > MEd

Mpl.Rd = Wpl.y*fy / YM1 = 166.4*27.5/1 = 4576 daN.m

Mpl.Rd = 4576 > MEd = 654.75

DEFORMEE

Pour la charge triangulaire symétrique : f(x) = ((px)/(960EIL))(25L^4-40L^2x^2+16x^4)
Pour le poids propre du profil : fmax = (5gl^4)/(384EI)

fmax = f(5) = ((30*5)/(960*2.1*1317*10))*(25*10^4-40*10^2*5^2+16*5^4) + ((5*18.8*10^4)/(384*2.1*1317)) = 1.789 cm

VERIFICATION L/200 > fmax

L/200 = 1000 cm / 200 = 5 cm

L/200 = 5 cm > fmax = 1.789 cm

[PPathfindeRR]

oups, c'était L/250 = 4 cm

mais ça change pas grand chose à mon problème initial