Calcul d'un travail avec une intégrale

[yy527]

Bonjour

Je cherche à calculer le travail que je dois fournir pour faire tourner une force sur un cercle.

Voici l'exercice:






Un bras tourne autour du centre rouge, il tient à son bout une force F. La force F tourne autour du cercle de centre O (pointillés sur l'image). Comme les axes de rotation ne sont pas les mêmes, le bras doit augmenter sa longeur, j'ai représenté cela par un petit vérin. Ce qu'il faut noter c'est que la force F tourne avec le cercle, c'est à dire qu'elle change de direction au fur et à mesure qu'elle tourne. L'angle de 30° entre la force et le rayon est toujours constant. J'ai donné deux exemples, le premier au départ à 0° et un autre à 13°, c'est l'angle de déplacement (x) dans l'intégrale.

Je souhaite trouver le travail que doit fournir le bras pour tourner de 0° à 45° (ou moins). J'intègre à partir du point de départ (verticale) et je tourne en rotation horaire.

Le rayon vaut 1. La force en module vaut 1, donc en absisse Fx vaut 0.5 et en ordonnée Fy vaut

J'ai trouvé cela comme intégrale (en degré):

Le bras récupère de l'énergie car la force l'aide à tourner:


Il faut donner de l'énergie au vérin pour augementer la longueur du bras:


Je ne m'occupe pas de la force F, je suppose qu'un élément extérieur la fournie.

Est ce que c'est correct ? En particulier, je ne suis pas certain des 2x dans l'intégrale.

Bonne journée
-----

[LPFR]

Bonjour.
Je trouve que vous vous compliquez un peu la vie.
Si la force fait un angle constant avec le rayon, sa composante le long du chemin est constante. Le travail sera donc cette composante multipliée par la longueur du chemin parcouru.
On peut donc écrire directement le travail :
W = F.sin(β).R(π/4)
Pour un angle de 45° (π/4).
Au revoir.

[yy527]

Je dois trouver le travail dû à la rotation et le travail dû à l'alongement. La force fait un angle constant avec le rayon, mais c'est le rayon du cercle pas le bras. Plus le bras va tourner et plus l'angle entre le bras et la force va se raccourcir (je ne m'intéresse qu'au premier quadrant). C'était peut être pas bien clair sur le dessin.
Votre formule est super rapide mais je ne comprends pas comment arriver à cela.

Merci

[LPFR]

Re.
Autant pour moi. J’ai oublié le travail le long du bras.
Je vais regarder avec un peu plus d’attention.
A+

[A voir en vidéo sur Futura]

[LPFR]

Re.
Je reviens sur mes excuses.
Ce que j’ai fait est correct. Je décompose F et deux composantes perpendiculaires : dans la direction du rayon et tangente au cercle.
Le travail de la force est bien celui que l’ai calculé : il n’y a que la force tangente dont le point d’application se déplace.
A+

[Dynamix]

Salut

Je dois trouver le travail dû à la rotation et le travail dû à l'allongement.

Pourquoi cette décomposition ?
dT = F.dl
Expliciter F et dl dans le repère choisis .
Quel est le repère le plus pratique ?

[yy527]

@Dynamix: Parce qu'il faut que je puisse comparer les deux travaux séparemment.

@LPFR: mon résultat est différent du votre, je vais regarder si j'arrive à comprendre votre méthode et aussi si j'arrive à comprendre mon erreur. J'avais calculé intégrale de F*L*sin(x) pour le travail circulaire et intégrale de F*L*cos(x) pour le travail d'alongement du bras, avec x l'angle entre le bras et la force.

Merci

[yy527]

Je viens de comprendre votre raisonnement LPFR, vous êtes parti du travail de la force, effectivement mais je souhaite comparer les deux travaux, je vais voir si je trouve mon erreur. Globalement j'ai le droit d'intégrer F*L*sin(x) ? ou c'est un F*dL*sin(x) qu'il faut intégrer ?

[Dynamix]

J'avais calculé intégrale de F*L*sin(x) pour le travail circulaire et intégrale de F*L*cos(x) pour le travail d'alongement du bras, avec x l'angle entre le bras et la force.

Dans un repère centré sur le point rouge .
Le travail n' est pas circulaire , il est "angulaire"

[LPFR]

Je viens de comprendre votre raisonnement LPFR, vous êtes parti du travail de la force, effectivement mais je souhaite comparer les deux travaux, je vais voir si je trouve mon erreur. Globalement j'ai le droit d'intégrer F*L*sin(x) ? ou c'est un F*dL*sin(x) qu'il faut intégrer ?

Re.
Je ne vois pas de quel autre travail parlez-vous.
On peut choisir n’importe quel repère. Ici, comme le point d’application de la force décrit un arc de cercle et que la composante le long de l’arc de cercle est constante, le repère est tout trouvé.
Ce qu’il faut intégrer est toujours

A+

[yy527]

Le repère que je souhaite prendre, c'est le centre rouge et la longeur du bras, c'est peut être pas le plus simple mais si c'est faisable. Le premier facteur dans mes intégrales est le module de la force, il vaut 1, ensuite le deuxième paramètre est la longueur du bras en fonction de x et le troisième paramètre tient compte du sinus ou du cosinus de l'angle entre la force et le bras.

J'ai intégré: qu'est ce que je dois changer pour avoir un calcul correct ? Il faut que j'enlève à la longueur pour n'avoir que le ?

Merci

[LPFR]

Re.
Premier conseil, n’utilisez JAMAIS des valeurs égales à 1. Appelez-les comme vous voudrez a, u, b, c, etc. mais pas ‘1’. Vous vous retrouvez avec des équations qui semblent dimensionnellement mauvaises. Vous ne pourrez pas utiliser l’analyse dimensionnelle pour détecter des erreurs bêtes.
Quand vous calculerez les valeurs numérique vous le remplacerez par 1. Mais pas avant.
Si vous utilisez un repère qui n’est pas le repère cartésien, alors n’appelez JAMAIS des angles ‘x’ ou ‘y’.
À moins que vous ne soyez masochiste en phase terminale.

Décidez-vous de quel repère allez vous utiliser, cartésien ou polaire et décidez les axes et les angles que vous allez utiliser.
Puis exprimez les composantes de F dans ce repère et les composantes de dℓ dans ce repère. Cela vous permettra de faire le produit scalaire.
A+

[Dynamix]

J' imagine (grossièrement) que tu as un moteur qui modifie la longueur du bras et un qui le fait tourner et tu cherche le travail de chaque moteur .
Il faut décomposer F en deux composantes , perpendiculaire et parallèle à F
Et dl en dr , et r.dα

[yy527]

Oui, effectivement j'ai mis des x et y pour du polaire :/ et effectivement mettre des variables c'est beaucoup plus lisible:

Le bras récupère de l'énergie car la force l'aide à tourner:


Il faut donner de l'énergie au vérin pour augementer la longueur du bras:


Finalement comme je suis en polaire je comprends que je doive mettre L dans l'intégrale. Mais le résultat n'est pas bon (par rapport à votre formule) alors j'ai encore dû faire une erreur, je vais chercher mais un conseil n'est jamais superflue


Merci LPFR et Dynamix

[Dynamix]

Au lieu de nous donner tes résultats , dis nous comment tu procède .
Franchement , je ne vois pas comment tu arrives à ça .
Que vient faire le pi/4 la dedans ? ça devrait etre une borne d' intégration .
C' est quoi R et L ?
R , ça devrait être le vecteur (point rouge) (point noir) de norme 2a.cosα (avec a = rayon du cercle)

[yy527]

Je n'intègre pas forcément de 0 à pi/4, max jusque pi/4. J'ai mis l'angle de 0 à alpha pour l'intégrale.
Le pi/4 c'est l'angle de départ que fait le bras avec l'horizontale. A bien y regarder, on a toujour un triangle isocèle formé par le point rouge, le point jaune et le centre 0. Je cherche l'angle entre le bras et la force, cela vaut l'angle du triangle + l'angle entre la force et le rayon (ce dernier ne change pas). Hors l'angle du triangle est aussi de l'autre côté, et c'est avec la variable angulaire de l'intégration
R est le rayon du cercle, il vaut 1 dans mon exemple. L c'est la longueur du bras qui évolue en fonction de l'angle.

[Dynamix]

Le pi/4 c'est l'angle de départ que fait le bras avec l'horizontale

Ce qui s' appelle se compliquer la vie pour rien .
Prends comme tout le monde alpha entre l' abscisse et le "bras" et tu intègre de pi/4 à l' angle d' arrivée .
Exit le pi/4 dans la formule .

L c'est la longueur du bras qui évolue en fonction de l'angle

Il ne suffit pas de le dire , il faut l' écrire .
L(α) = machin en α
A toi de jouer .

[yy527]

Je peux garder mon angle si ça gêne pas, car j'ai des difficultés à changer de repère.

Il ne suffit pas de le dire , il faut l' écrire .L(α) = machin en α A toi de jouer .

L(α) est ce que j'ai écrit dans l'intégrale:



C'est sans doute ce terme qui n'est pas bon ?

[Dynamix]

Tu n' as pas trouvé moyen de simplifier ?
A moins que tu n' ais oublié tes formules de trigo ....

De plus en réfléchissant un peu ...
Tu coupes le triangle isocèle en deux triangles rectangles et tu calcules le grand coté ...
Le résultat est le même , mais c' est plus simple .

Je peux garder mon angle si ça gêne pas, car j'ai des difficultés à changer de repère.

Tu n' aimes pas quand c' est simple ?

[Dynamix]

En fait si 2θ correspond , comme je le pense , à l' angle du rayon du cercle , ta formule est fausse .

[yy527]

Oui, je peux simplifier.
Quand le bras fait une rotation vers le bas (par rapport à 45° position de départ) de alors le rayon du cercle bouge de c'est ce que j'ai constaté graphiquement, qu'est ce que je dois changer ? si j'intègre de 0 à 45° alors la force fait une rotation de 90°.

Merci

[Dynamix]

Prend θ l' angle entre l' abscisse et le bras .
L' angle du rayon c' est 2θ
Et la longueur du bras 2Rcosθ

C' est trop simple pour toi ?
Ou c' est pas assez compliqué ?

[yy527]

Oui, ok c'est vrai que c'est plus simple mais mon intégrale était bonne car je trouve le même résultat qu'avant ?
Par contre même avec ta formule ça ne fonctionne pas, on ne trouve pas le résultat de LPFR, à savoir le travail de la force autour du cercle. Il y a une erreur mais je ne la trouve pas. Il y a toujours une différence même avec un angle faible. J'ai intégré avec Wolfram, Wxmaxima et un programme.

Et merci pour la simplification, je l'avais pas vu car je ne voyais pas l'angle comme cela

[Dynamix]

La formule de LPFR te donne le travail total .

[yy527]

Et j'ai fait quoi alors en faisant le travail de rotation du bras moins le travail d'alongement ? C'est pas cela que j'ai calculé en faisant l'intégrale de FL(sin-cos) ?

[Dynamix]

Et j'ai fait quoi alors en faisant le travail de rotation du bras moins le travail d'alongement

Je ne sais pas .
C' est ton idée .
Le total ce n' est pas la différence .

[yy527]

Je souhaite avoir le travail du bras (travail fourni) et de l'alongement (qu'on doit fournir), j'ai fait l'un moins l'autre, et comme LPFR a calculé le travail de la force, je devrai retrouver exactement la même chose non ? Additionnant ou en soustrayant c'est pas pareil.

[Dynamix]

Comme je ne sais pas quels calculs tu as fait , je ne peux rien te dire .
Je ne suis pas devin .

[yy527]

Je donne l'intégrale Wolfram:

integrate 2*cos(x)*(sin(x+pi/6 )-cos(x+pi/6)) dx from x=pi/4 to 0

pour le travail de pi/4 à 0

[LPFR]

Bonjour.
Si vus voulez que l’on vous aide à trouver où sont vos erreurs, il faut que vous nous donniez :
- Ce que vous avez choisi comme repère.
- Les composantes de F et de dℓ dans ce repère.
- Le chemin d’intégration et la variable qui décrit la position dans ce chemin, et qui sera la variable d'intégration.
- Les composantes de F et dℓ et fonction de cette variable d’intégration uniquement.
- L’intégrale à laquelle vous arrivez et, éventuellement, les morceaux du découpage que vous souhaitez.
Au revoir.