calcul d'intégrale avec gaussienne
Bonjour à tous,
J'ai un soucis de calcul d'intégrale, je dois calculer l'intégrale sur tout le domaine réel de
exp(-1/2*(a*x²+b*y²+c*z²+2*d*x*y+2*e* x*z+2*y*z)) dx*dy*dz
je ne vois pas comment décorréler les variables pour arriver au calcul d'une intégrale gaussienne qui est connu
(intégrale exp(-1/2*a*x)dx=racine(2*pi/a)
Merci pour vos idées éventuelles
Anne-Sophie
Salut,
Sais-tu diagonaliser une forme quadratique ?
ah euh..
comme ça ça me dit rien, mais je pourrais retrouver
c'est ce qu'il faut faire?
Bonsoir,
Ce qui serait intéressant c'est que tu te ramènes à quelque chose du genre :
car on sait calculer cela (intégrale de Gauss)
Pour cela il faut trouver un bon changement de variable.
L'expression dans l'exponentielle peut être vue comme
M est symétrique réelle donc diagonalisable dans une BON dans IR. M est donc semblable à une matrice de type
Il existe P telle que
Donc au final l'expression dans l'intégrale se met sous la forme :
Reste à faire le changement de variable Y = PX et le tour est joué
Bonjour,
tu peux en effet faire comme te le proposent Coincoin et erff, mais tu paux aussi passer par la méthode du col réel par exemple, à voir...
Re : calcul d'intégrale avec gaussienne
merci beaucoup
en fait je me retrouve à calculer l'intégrale de a'*x^2+b'*y^2+c'*z^2 avec a', b', c' les valeurs propres de la matrice
c'est bien cela..
bon j'suis un peu déçue, je suis obligé de faire le calcul des valeurs propres à l'ordi.
Je me contenterai d'un résultat numérique
c'est quoi la méthode du col réel par curiosité?
Oui, mais attention aux changements de signe éventuels (effectivement x,y,z vont varier sur IR mais je ne sais pas dans quel sens...)en fait je me retrouve à calculer l'intégrale de a'*x^2+b'*y^2+c'*z^2 avec a', b', c' les valeurs propres de la matrice
c'est bien cela..
je ne connais pas non plusc'est quoi la méthode du col réel par curiosité?
La méthode du (point) col est une méthode permettant de donner une approximation asymptotique de ce genre d'intégrale. Généralement, cette méthode est utilisée pour calculer des intégrales à valeurs complexes. Pour des gaussiennes classiques, on préfère utiliser la terme de méthode de la phase stationnaire (cf. wikipedia)... Bien que ces deux méthodes n'utilisent pas tout à fait les mêmes recettes, elles donnent néanmoins le même résultat.Envoyé par Anso14
La principale contribution de l'intégrande à l'intégrale correspond au voisinage d'un point que l'on appelle 'point stationnaire' (ou point 'col'). si f(x,y,z) correspond au polynome de ton exponentielle, alors le point stationnaire sera le (ou les) point qui satisfera : Gradient[f] = 0.
Il existe ensuite une formule qui exprime de façon analytique l'approximation de ton intégrale.
Attention toutefois, cette méthode est très simple d'utilisation lorsque le domaine d'intégration est infini. Si ce n'est pas le cas, on peut rapidement se compliquer l'existence, surtout avec des intégrales multiples !
Mais là il n'y a pas besoin d'approximation, étant donné qu'on peut le calculer analytiquement : il suffit de diagonaliser pour éviter les termes croisés.
Bonjour,
c'est vrai, mais l'approximation est très satisfaisante...
