Modèle simplifié d'une tornade

[invite0395b98d]

Bonjour,

j'ai un exercice à faire sur la mécanique des fluides, et je suis un peu bloqué pour l'instant.

On considère un écoulement tridimentionnel défini en coordonnées cylindrique par le champ de vitesse suivant :

v(r,théta,z) = C/(2*Pi*r) ê(théta),

avec C=cte

On me demande de trouver la forme des lignes de courant.
D'apres le cours, l'équation des lignes de courant est :

dr/Vr = d(théta)/V(théta) = dz/Vz

Puis il faut intégrer.
Je trouve alors :

Cte = 2*Pi*r*théta/C

d'où : théta = C'/(2*Pi*r)

Je ne suis vraiment pas sure de la réponse.
Pouvez vous m'aider ?
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[invite578a92be]

Coucou,

Si je ne me trompe pas, une ligne de courant est une ligne de champ des vitesses. Elle est donc tangeante au vecteur vitesse qui est porté selon e(theta). On en déduit que les lignes de courant sont des cercles.

Sinon, puisque la vitesse n'a de composante que selon e(theta), je ne crois pas que tu puisses appliquer ta formule (d'ailleurs elle est juste? je crois qu'il manque un r devant d(theta) car l'équation est donnée par dM^v=0)

[invite0395b98d]

OK merci, en ce qui concerne l'exactitude de la formule, je ne sais pas, mais il est possible qu'il y ait un r.


Maintenant j'ai encore un soucis avec cet exercice :

Une tornade est assimilée à un mouvement stationnaire incompressible, l'air étant considéré comme un fluide parfait de masse volumique p = 1,3 kg.m^-3. Cet écoulement es caractérisé par un vecteur vorticité ^w=w.êz supposé uniforme à l'intérieur d'un cylindre d'axe Oz et de rayon a=50m et nul à l'extérieur de celui ci
A la périférie de l'oeil(r=a), la vitesse a pour module U=180 km/h. L'air est de plus supposé immobile loin de la tornade. On néglige la gravité.

On admet que le champ de vitesse de l'air s'écrit sous la forme ^v=v(théta).ê(théta).
Et la on me demande d'exprimer la vitesse v(théta) en fonction de r,a et w en distinguant les deux cas : r<a et r>=a

Je vois pas du tout comment faire...
Y a t il une formule a appliquer par exemple... ?

[invite578a92be]

Oui.

Tu dois raisonner par analogie avec l'électromagnétisme : tu as 2*w=rot(v) par définition du vecteur tourbillon (d'ailleurs l'appellation vecteur vorticité me semble impropre ici parce qu'un vortex est un modèle pour une tornade avec a=0).

En utilisant l'équivalent du théorème d'Ampère tu dois pouvoir t'en sortir. En gros, tu calcules le flux de w sur une surface bien choisie et tu utilises le théorème de Stokes-Ampère pour relier ce flux à la circulation de v le long du contour sur lequel s'appuie ta surface.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0395b98d]

Désolé, mais je n'y arrive pas...

[invite578a92be]

Tu bloques où?

[invite0395b98d]

Au début...

Je n'arrive pas à calculer le flux, et j'ai un peu de mal avec l'électromagnétisme...

[invite578a92be]

Bon, alors reprenons.

Le vecteur tourbillon s'exprime en fonction du rotationnel du vecteur vitesse par : 2*w=rot(v). Ceci fait penser à l'équation de Maxwell-Ampère en régime stationnaire rot(v)=μj. De même que l'on obtient de théorème d'Ampère, qui est la forme globale de l'équation de Maxwell-Ampère, en appliquant le théorème de Stokes-Ampère (ça fait beaucoup de fois Ampère...) à cette dernière, on va chercher la forme intégrale de l'équation 2*w=rot(v).

Comme en électromag, il faut définir un "contour d'Ampère" qui soit le plus simple possible compte tenu des symétries du problème. Ici, ta vitesse ne dépend que de r, il est naturel de choisir comme contour un cercle de rayon r. Comme ca, la norme du vecteur vitesse est constante sur le contour.

Maintenant que l'on a définit notre contour, et donc une surface s'appuyant sur ce contour, on peut appliquer le théorème qui dit que le flux de w à travers cette surface est égal à la moitié de la circulation de v le long du contour délimitant cette surface.

Il faut envisager deux cas pour le calcul : soit r<a, soit r>a.

Dans le cas r<a, le flux de w, qui est constant à travers le disque de rayon r, est donc égal à w*S = w*π*r²*(e(z).n) avec n qui est la normale à ta surface. Tu trouve l'orientation de ta surface avec la règle de la main droite, donc en choisissant de circuler sur le contour dans le sens positif, n=e(z).

La circulation de v est alors l'intégrale sur le contour de v.dl et puisque tu circules dans le sens positif, dl=r*d(theta)e(theta).

Finalement, on a 2*w*π*r²=2*π*r*v(r) d'où v(r).


Je te laisse faire le calcul pour r>a, attention ici le flux de w n'est plus le même puisque w(r)=0 si r>a.