Une intégrale en électro-magnétisme

[Bruno0693]

Bonjour,

Dans un cours d'électro-magnétisme (Faroux-Renault), lors de l'établissement du vecteur de Poynting, je trouve la chose suivante :

On donne d'abord "l'identité de Poynting" :



Ensuite, les auteurs écrivent :

" Multiplions par [l'élément de volume] l'identité de Poynting et intégrons cette expression sur un volume quelconque (V) limité par une surface S fixe ".

On trouve alors, dans le texte du cours la simplification suivante, pour le premier terme :

" La surface étant fixe, le premier terme se transforme suivant : "





=> Ma question

Je ne comprends pas bien le raisonnement qui permet de faire sortir l'opérateur de différenciation (en t) en dehors de l'intégrale. Je me dis que, comme S est fixe, alors l'élément de volume ne dépend pas de t. Certes, mais ne faut-il pas en plus des conditions de régularité (continuité, etc...) sur l'expression qu'on intègre pour faire sortir en dehors de l'intégrale ?

Merci d'avance pour vos réponses.
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[invitee0fcad7a]

Effectivement ce genre d'égalité est démontré par une des variantes du théorème de convergence dominée.

Une intégrale est definie comme une certaine limite (que ce soit Riemann ou Lebesgue), de même pour une dérivée, donc finalement c'est une égalité d'interversion de limites.

Le raisonnement des auteurs ne se préoccupe pas des conditions pour lesquelle une telle interversion est valable. Mais le fait que S soit fixé exclu la complication supplémentaire, dans le cas (vraiment pour compliquer les choses...) ou l'on choisirait un volume dépendant du temps.

[invite6dffde4c]

Bonjour.
En physique classique, toutes les fonctions sont continues et les opérations de dérivation et intégration sont permutables.
(Et toutes les intégrales sont définies).
Au revoir.

[invitee0fcad7a]

Quelques commentaires supplémentaires:

- en générale, c'est lorsque l'on intègre sur un domaine infini que l'on "risque" d'avoir une quantité infini. Ici ce n'est pas le cas donc la seule possibilité est qu'une des quantités sous l'intégrale diverge suffisament en un point pour que l'intégrale diverge.

- vraiment en continuant cette discussion "à la main", il y a en fait plus de chance pour que ce soit le membre de gauche qui n'existe pas alors que celui de droite existerait.

- en mécanique des fluide des "fonctions non continues" solutions d'équations aux dérivées partielle apparaissent lors de phénomènes du type "mur du son", "bang supersonique".

La question pertinente étant plûtot pour quelles raisons "intuitive" peut on parfois échanger des limites et parfois non.

[A voir en vidéo sur Futura]

[stefjm]

La question pertinente étant plûtot pour quelles raisons "intuitive" peut on parfois échanger des limites et parfois non.

Il y a plutôt des théorèmes de mathématiques qui disent sous quelles conditions on peut le faire.