Facteur de dilatation énergétique dans le LHC

[Dompeyre]

Dans l'article de Wikipedia sur le LHC - Grand collisionneur de hadrons, on lit:
"Les protons sont accélérés à des vitesses extrêmement proches de celle de la lumière. Avec une énergie de 7 TeV, soit 7 500 fois leur énergie de masse, leur vitesse est d'environ 0,999999991 fois celle de la lumière, autrement dit, ils se déplacent à seulement 2,7 mètres par seconde moins vite que la lumière (299 792 455,3 au lieu de 299 792 458 mètres par seconde)"
Et plus bas en note 2:

"l'énergie du proton est 7*TeV, très supérieure (d'un facteur 7500) à son énergie de masse m*c2 de 938*MeV."

Mais quand on fait le calcul en appliquant à 938 MeV la formule de rapport aux vitesses donnée dans cette note pour obtenir l'énergie théorique:
v/c=racine de (1 - (m*c au carré/E)au carré) (pardon pour la transcription...)

on trouve pour E une énergie théorique qui devrait être de 46 TeV (4630757). D'où peut venir cette différence ?
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[phys4]

Bonjour,
Je pense que la différence provient de la précision de votre calculatrice.

Il faut prendre l'énergie comme valeur de base la plus rigoureuse.
cela vous donne un rapport d'énergie de 7462
A partir de cette valeur vous déterminez que l'écart à la vitesse de la lumière est de 8,98.10^-9
soit 2,7 m/s environ

Pour éviter des erreurs d'arrondi il faut transformer
en

et utiliser en numérique l'écart de v/c par rapport à 1.

[mach3]

Si je prend gamma=7500 (soit E/m = 7TeV/938MeV, je prend c=1), je trouve une vitesse de 0,999999991, comme indiqué (soit, en SI, 299792455.3m/s).

Je ne vois pas comment vous parvenez à trouver 46TeV.

m@ch3

[Dompeyre]

Merci pour ces réponses. Effectivement en refaisant les calculs sur la base de c=1, on trouve 6 991 439 donc, arrondi, 7 TeV.
Mais je m'attendais qu'à une vitesse très proche de la lumière l'accroissement devienne exponentiel et qu'on tende vers l'infini. En refaisant ces mêmes calculs sur la base d'une vitesse égale à 299792457,9 mètres par seconde soit 10 cm de moins par seconde, on arrive à 114 766 459, donc 114 TeV ou 122 300 fois l'énergie de masse. On n'est pas encore à l'infini. Mais sans doute l'infini doit être une facilité de langage.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitecaafce96]

Bonjour,
Tout est en page 4 du document , ainsi que l'allure de la courbe :
https://cds.cern.ch/record/1095481/f...08-001-Fre.pdf

[mach3]

J'allais justement conseiller de tracer cette courbe en fonction de v.
Le tracé en fonction de (c-v)/c est aussi intéressant (surtout qu'il évite les erreurs de calcul de l'ordinateur à cause des arrondis), surtout en échelle log : on obtient une droite (pour (c-v)/c << 2 ) de pente -1/2 et d'ordonnée à l'origine 0.5log(2), c'est à dire qu'à chaque fois qu'on divise par 100 la différence entre c et v, on multiplie gamma par 10.
Quand (c-v)/c est de :
10^-10, gamma vaut 71 000
10^-12, gamma vaut 710 000
10^-14, gamma vaut 7 100 000
10^-16, gamma vaut 71 000 000
10^-18, gamma vaut 710 000 000
10^-20, gamma vaut 7 100 000 000
10^-2n, gamma vaut 0,71.10ⁿ

l'augmentation de gamma semble lente en regardant de ce point de vue, mais elle est inexorable. Plus n est grand, plus gamma est grand, et n peut être arbitrairement grand (v tend vers c donc (c-v)/c tend vers 0), donc gamma peut-être arbitrairement grand (il tend vers l'infini).

m@ch3

[Dompeyre]

Merci m@ch3 pour vos réponses.
Mais on s'attendrait à ce que la tendance vers l'infini se traduise par exemple par 0,99.10n. Je n'ai pas compris l'inégalité (c-v)/c <<2. Pourquoi pas <<1 ?
En définitive pourquoi la tendance vers l'infini reste verrouillée sur une puissance de 0,71 ?

[mach3]

c'est juste des maths.

On a :




On peut passer au logarithme :





Si (on va dire qu'à partir de v=0,99c c'est assez bien satisfait), cela devient une simple fonction affine :



si, afin d'évaluer cette fonction, on choisit arbitrairement que est 1 multiplié par une puissance de 10 négative, entière et paire (), alors est un entier positif. Le log de gamma sera donc un entier moins , qui vaut ~0,15, on aura donc des gamma de la forme , ou encore , en valeur exacte c'est .
C'est le choix arbitraire de prendre 1 multiplié par une puissance de 10 négative, entière et paire pour qui fait apparaitre . On aurait pu au contraire choisi les correspondant à des gamma de la forme .

m@ch3

[Dompeyre]

L'explication est précise et pédagogique mais je reste sur la même interrogation. Si on prend comme facteur 10ⁿ on devrait aboutir à 10^-(n+1,3)/2, donc à un autre puissance que 0,71.1ⁿ. Mais cette autre puissance p n'ira jamais vers un "vrai" infini et restera bloquée dans son tunnel d'accroissement, cette fois, en pⁿ au lieu de 0,71.1^n. A mon sens un vrai infini serait de croître non seulement en puissance mais aussi en base de cette puissance (?).

[mach3]

Mais cette autre puissance p n'ira jamais vers un "vrai" infini et restera bloquée dans son tunnel d'accroissement, cette fois, en pn au lieu de 0,71.1n. A mon sens un vrai infini serait de croître non seulement en puissance mais aussi en base de cette puissance (?).

Je vous suggère de revoir les notions de continuité, de limite et d'infini en maths.

Quand c-v tend vers 0, c'est à dire qu'il devient infiniment petit, v tend vers c, c'est à dire qu'il devient infiniment proche de c, et gamma tend vers l'infini, il devient infiniment grand. Si v/c vaut 0 virgule plein de 9, gamma vaut 71 et plein de 0 derrière et un nombre arbitrairement grand de 9 derrière la virgule de v/c donne un nombre arbitrairement grand de 0 derrière le 71 de gamma. Ce n'est pas parce que gamma augmente "moins vite" que (c-v)/c diminue que gamma ne peut pas aller vers un "vrai" infini quand (c-v)/c va vers 0.
Le fait est qu'il y a une asymptote verticale pour gamma en v=c (ou (c-v)/=0).

Si ça ne passe toujours pas, je vous suggère d'aller dans la section mathématiques ou de vrais mathématiciens vous ferons une vraie explication rigoureuse de mathématiques.

m@ch3