Analyse de Fourier

[invite88e956de]

Bonjour,

C'est peut-être une question bête mais je ne comprends pas l'intérêt de dire que "tout régime périodique forcé peut être considéré comme la combinaison linéaire de plusieurs régimes sinusoïdaux indépendants."

Auriez-vous des exemples ou une explication simple qui me permettrait de comprendre à quoi sert l'analyse de Fourier et quand on l'utilise?

Merci d'avance!!
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[inviteb9f49292]

Attention pour moi il y a 2 questions:

C'est peut-être une question bête mais je ne comprends pas l'intérêt de dire que "tout régime périodique forcé peut être considéré comme la combinaison linéaire de plusieurs régimes sinusoïdaux indépendants."

Tu as déjà vu une forme d'onde réelle quasi-périodique (une note ne piano, le bruit d'un moteur...), c'est en général bien compliqué et torturé, même si c'est périodique... Va t'en en trouver une expression mathématique... Sauf que monsieur Fourier il a dit que finalement un signal compliqué (qu'on ne peut pas exprimer simplement mathématiquement), mais on peut le voir comme une somme de signaux sinusoidaux... Et maintenant je suis capable d'exprimer simplement (une somme de fonctions simples) mon signal compliqué... Pour être complet, la plupart des systèmes mis en oeuvre en traitement du signal (filtre...) sont linéaires, si x et y sont deux signaux quelconques alors filtre(a*x + b*y) = a*filtre(x) + b*filtre(y)... Donc pour connaître ton filtre il te suffit maintenant de connaître sa réponse à toute les fréquences pures, et tu peux anticiper la réponse à un signal compliqué en sommant les réponses aux sinus purs constituant la développé de Fourier de ton signal compliqué.

Auriez-vous des exemples ou une explication simple qui me permettrait de comprendre à quoi sert l'analyse de Fourier et quand on l'utilise?

Un 1er exemple ci-dessus. Plus généralement, tu utilises Fourier lorsque tu veux savoir comment se répartie l'énergie de ton signal sur la bande de fréquence. Pour faire grossier, tu cherches la répartition énergétique en temporel pour détecter/dater ton signal, et tu la regardes en fréquentiel pour caractériser ton signal...

[invite88e956de]

Merci lou_ibmix_xi pour votre réponse très détaillée qui m'a beaucoup aidé.

Pour voir si j'ai bien compris (n'hésitez pas à me corriger si j'ai oublié quelque chose ou si je dis des bêtises), une analyse de Fourier permet de simplifier l'étude d'un signal compliqué en le décomposant en des signaux plus simples qui dépendent des différentes harmoniques de ce même signal (qui sont les multiples de la fréquence fondamentale).

Une dernière question subsiste:

N'importe quel signal "compliqué" est-il décomposable en série de Fourier?

[albanxiii]

Bonjour,

C'est peut-être une question bête mais je ne comprends pas l'intérêt de dire que "tout régime périodique forcé peut être considéré comme la combinaison linéaire de plusieurs régimes sinusoïdaux indépendants."

Ceci n'est vrai que pour un système linéaire.

@+

édit : j'ai un doute...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6dffde4c]

Bonjour.
Toute fonction périodique peut être décomposée en somme des sinusoïdes et cosinusoïdes de fréquences multiples de la fréquence de base.

Cela permet d’étudier le comportement de systèmes linéaires pour une seule fréquence (quelconque) et faire la somme des résultats pour chacune des fréquences de la décomposition de départ.

C’est ici le doute d’Albanxii (que je salue). Dans un montage non linéaire cette simplification n’est pas possible, car des nouvelles fréquences apparaissent (sommes et multiples des fréquences de départ).
Au revoir.

[inviteb9f49292]

N'importe quel signal "compliqué" est-il décomposable en série de Fourier?

Tout signal périodique est l'équivalent d'une (et une seule) série de Fourier: donc somme infinie de sinus et cosinus de fréquences multiples de la fondamentale.
Tout signal peut être vu de manière temporelle (ce que tu fais tous les jours), ou fréquentiel par la transformée de Fourier. Et c'est bien le même signal que tu regardes de 2 manières différentes. La série de Fourier c'est le cas particulier pour les signaux périodiques. (PS je préfère le tutoiement, signe que je deviens vieux ?)

C’est ici le doute d’Albanxii (que je salue). Dans un montage non linéaire cette simplification n’est pas possible, car des nouvelles fréquences apparaissent (sommes et multiples des fréquences de départ).

Je reformulerai que la réponse fréquentiel d'un système le caractérise complètement que s'il est linéaire. Dans le cas inverse, le passage dans le domaine fréquentiel reste intéressant (indispensable?), ne serait-ce que pour caractériser les non linéarités du système.