Principe variationnel appliqué à un champ scalaire

[invite7797a7e5]

Bonjour à tous !

Afin de commencer mon cours de Relativité Générale, notre enseignant nous fait une grosse introduction sur la théorie classique des champs.
A partir du principe variationnel appliqué à la trajectoire d'une particule on obtient clairement l'équation de Euler Lagrange. Puis on réalise le même raisonnement sur un champ scalaire solution de l'équation de Klein Gordon. Le calcul nous montre que l'on obtient une généralisation de l'équation de Euler Lagrange mais appliqué au champ au lieu des coordonnées dans le cadre d'une particule classique.

Mon problème est dans l'application de ce principe variationnel au champ classique. Je me permets de mettre en lien un cours que j'ai trouvé dans lequel on retrouve mon problème (page 11 du pdf) : http://www.melsophia.org/wp-content/...rie_champs.pdf

La variation de l'action amène à la différentielle du lagrangien par rapport au champ et à ces dérivées. On fait une intégration par partie et on retrouve une forme similaire que dans le cas d'une particule mais avec une intégrale en plus sur un Sigma (qui représente une surface si je dis pas de bêtises et qui au final est égale à zéro).
Ma question est : d'où viens ce terme de surface ? Après recherches, j'ai compris que cela viens du théorème de la divergence mais je vois pas comment l'appliquer pour retrouver ce résultat...

Quelqu'un pour m'aider ?

Merci
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[Quarkonium]

Salut,

On part de la seconde ligne du petit développement mathématique après l'équation (3.11) de ton document. Le seul terme sur lequel on travaille est le second terme dans l'intégrale, les autres restants inchangés pour le passage de la seconde à la troisième ligne. Ce terme est donc . Si tu calcules la dérivée par rapport à du produit de et , tu obtiens : , en remarquant que le second terme est celui auquel nous nous intéressons depuis le début. Il te suffit alors d'utiliser le théorème de la divergence pour voir que l'intégrale du produit se réécrit : (où est bien sûr la bordure de ). En effet, le théorème de la divergence en notation d'Einstein te donne : . Il te reste juste à isoler dans l'égalité notre terme de départ, remplacer l'intégrale du produit par son équivalent après utilisation du théorème de la divergence, et tu devrais pouvoir passer de la deuxième à la troisième ligne du développement.

Je ne suis pas un as de la rigueur mathématique, donc si quelqu'un a une correction à apporter, il est le bienvenu.

[invite7797a7e5]

Super ! Merci beaucoup !!
Ça m'enlève une épine du pied ^^.
Juste quelques petites précisions : je suppose que n_mu reprente le "le vecteur unitaire normale à la surface en 4D" ? Et aussi est ce qu'il y a une démonstration simple du passage du théorème de la divergence classique à 3D à ce théorème à 4D en sommation d'Einstein ?

[Quarkonium]

n est effectivement le vecteur normal à la "surface", qui est en 3D puisque l'espace qu'elle délimite est en 4D (on devrait donc plutôt parler de volume et d'hyper-volume j'imagine). En fait de façon rigoureuse, le théorème de la divergence correspond au cas d'une intégrale sur un espace (3D donc) transformée en une intégrale sur la surface (2D) qui le délimite ou vice-versa. Mais cette propriété est généralisable à n dimensions, c'est le théorème de Stokes généralisé. Je te laisse checker l'article anglais de Wikipédia à ce sujet qui est relativement simple. Et la notation tensorielle (ou notation d'Einstein lorsqu'on omet volontairement d'écrire la sommation sur tous les indices) n'est qu'une façon différente, généralement plus compacte, d'écrire les calculs... tensoriels pour passer facilement d'une écriture à l'autre, il faut s'entraîner (je constate de toute façon que ton doc de référence l'utilise beaucoup, et c'est heureux car les calculs tensoriels deviennent vite long en théorie des champs, et encore plus longs en RG).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7797a7e5]

Merci beaucoup ! Tout est clair maintenant !