Mecanique (purement?) hamiltonienne

[invitec998f71d]

Bonjour

La presentation de la mecanique est toujours la meme. On commence avec un Lagrangien avec positions et vtesses.On definit l'impulsion comme une derivee partielle. On l'apprllr p. Puis on passe a l hamiltonoen H-q,p) etc

q et p sont dits variables conjuguees.
En MQ ou l'on a des operateurs on a [q,p] = cte
Existe il rn mecanique classique (via les crochets de Poisson?) un moyen d 'eviter
le passage par le lagrangien pour definir le fait que dans l'hamiltonien on a
bien deux variables conjuguees?
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[Deedee81]

Salut,

Oui, c'est possible.

Les variables q_i sont canoniquement conjuguées à p_i si et seulement si :
{q_i, q_k} = {p_i, p_k} = 0 et {q_i, p_k} = delta_ik (symbole de Kronecker)

Après, faut résoudre pour trouver les variables si on ne les a pas a priori.
De plus les solutions ne sont pas nécessairement uniques (transformations canoniques).

[invitec998f71d]

Merci
Je ne suis pas surpris de voir que c est toi qui repond!
Tu as un lien ou les variables conjuguees sont drfinies comme çà?

[Deedee81]

Je ne suis pas surpris de voir que c est toi qui repond!

J'ai toujours beaucoup aimé la mécanique analytique
Outre son utilité (en particulier en physique quantique) je l'ai toujours trouvé fort élégante.

Tu as un lien ou les variables conjuguees sont drfinies comme çà?

Oui : http://res-nlp.univ-lemans.fr/NLP_C_...ontenu_74.html

[A voir en vidéo sur Futura]

[velosiraptor]

Je plussoie. Quelle beauté cette mécanique analytique !!! J'en profite pour redonner la référence du bouquin de Basdevant "Principes variationnels Dynamique" que j'aime beaucoup !

[Deedee81]

Je plussoie. Quelle beauté cette mécanique analytique !!! J'en profite pour redonner la référence du bouquin de Basdevant "Principes variationnels Dynamique" que j'aime beaucoup !

Je ne connaissais pas. J'ai été feuilleter la table des matières. Il m'a l'air super bien.

[velosiraptor]

Super-bien, il est ! L'auteur n'est pas le premier venu, et en plus, il prend plein d'exemples dans différents domaines de la Physique, ce qui fait (re-)découvrir la beauté formelle de cette mécanique. Enfin, moi j'ai aimé ...

[invitec998f71d]

Les variables q_i sont canoniquement conjuguées à p_i si et seulement si :
{q_i, q_k} = {p_i, p_k} = 0 et {q_i, p_k} = delta_ik (symbole de Kronecker)

J'aimerais savoir s'il y a dautres conditions nécessaires et suffisanres.
J'ai trouvé un texte ou l'égalité suivante étant vérifiée:

dans cette exptrssion les c sont des consta,tes de structures de l'algebre consideree.
I'auteur (Lewandowski) ecrit:
"Note that for semi-simple algebras (which we will confine ourselves to) when the internal
index i is lowered with the Lie-Cartan metric the structure constants are totally skew in the
three lowered indices"
On a donc un ensemble de d'égalités (un par indice i)
il termine alors par
"where now the E and are canonically conjugate pairs. This version of the Gauss law then
becomes either the Dirac quantum-constraint equation or the Hamilton-Jacobi equation"

Il semble donc que ces egalités implquent que la conjugaison canonique?

[invitec998f71d]

Je viens de trouver un lien tres interessant sur les crochets de poisson et les contraintes
https://arxiv.org/pdf/1204.4280.pdf
peut etre un rapport?
.

[Deedee81]

Salut,

peut etre un rapport?

C'est forcément lié, oui.

Tiens, les systèmes hamiltonien avec contraintes, c'est effectivement intéressant. Je l'avais potassé en annexe du cours de Thiemann sur la gravité quantique à boucles. On ne trouve pas énormément de référence sur le sujet. Une en français est assez sympathique. Merci,

[invitec998f71d]

On lit dans cet article que la transformation de Legendre qui associe en un point
une impulsion a une vitesse peut ne pas etre surjective (ni injective). Ainsi une impulsion donnée ne donne pas une position vitesse unique.
C est le cas avec le champ electrique et le potentiel vecteur.
L'auteur parle de differents type de contraintes: primaires secondaires, de premiere classe ou non)
Pourriez vous me dire ce qu'il en est pour la contrainte dite de la loi de gauss?
qu'est ce qui joue le role de position et d'impulsion? type de contrainte?

[invitec998f71d]

J'ai trouvé des réponses à pludieur demes questions dans un vieux fil sur un forum anglophone
Y a t il des choses qui vous paraissent incompletes ou incorrectes?

[invitec998f71d]

Avec les gluons on a dans le Lagrangien on a la carré (on en prends la trace) de l'opérateur
oç D est la derivee covariante.
L'équation du mouvement pour ce champ est alors quand il n'y a pas de charces:

Vu la concision du depart et de l'arrivee y a t il un moyen elegant de demontrer cette equation
sans developper avec des dizaines et des dizaines de termes?

[invitec998f71d]

Je pense à un truc.
Dans les equations d'Euler Lagrange pour le mouvement on utisise des derivations du lagrangien.
Obtient on les memes resultats si on les remplace par les derivees covariantes D?