Champs vectoriel purement divergent et purement rotationnel

[invitea33ced2b]

Bonjour,

Je dois dessiner quelques vecteurs d'un champs purement divergent et d'un champs purement rotationnel en 2D (U)
Pour ce faire je pose
Pour le champs purement divergent que rot(U)=0
donc: d(Uy)/dx - d(Ux)/dy = 0
des solutions de cette équation sont : Ux=x et Uy=y
Mais je n'ai pas compris comment l'on trouve ces solutions? En gros comment résoudre l'équation diff .

De même pour un champs purement rotationnel, ici c'est div(U)=0
donc: d(Ux)/dx + d(Uy)/dy = 0
et des solutions sont: Ux=-y et Uy = x
Pas compris non plus comment l'on trouve ces solutions.

Et ensuite comment tracer quelques vecteurs de ces deux champs?

Merci beaucoup pour votre aide.
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[invite6dffde4c]

Bonjour.
Le problème est très simple (pas d’équations ni maths) quand on a compris la signification physique du rotationnel et de la divergence.

Je vous suggère de lire ce fascicule :
http://forums.futura-sciences.com/at...aire-nabla.pdf
Il est possible que vous le trouviez intéressant.
Au revoir.

[invitea33ced2b]

Merci pour votre réponse,

mais la question auquelle je dois répondre est précide:

"A partir de ces équa diff, donné un exemple de champs de vecteur"

J'aimerais savoir résoudre cette équation ultra simple.

Merci d'avance

[Resartus]

Vous avez peut-être appris qu'un champ de rotationnel nul dérive d'un potentiel, dont il est le gradient. N'importe quelle fonction V(x,y) fait l'affaire, pourvu qu'elle soit dérivable : il y a l'embarras du choix.
On peut alors écrire que les dérivées croisées sont égales d²V/(dxdy)=d(dV/dx)/dy=d(dV/dy)/dx= d²V/(dxdy) soit dEx/dy=dEy/dx
(le tout avec des d ronds) On a ainsi vérifié que le rotationnel d'un tel champ est nul.
Pour trouver des solutions, il suffit de prendre une composante au hasard Ex(x,y), On en déduit Ey par intégration de la formule

De même, un champ de vecteurs de divergence nulle dérive d'un potentiel vecteur, dont il est le rotationnel. Ce potentiel vecteur a 3 composantes, mais si les vecteurs sont en 2D il n'a qu'une composante non nulle, en z, qu'on peut appeler Az (x,y).
On a alors d²Az/dxdy= d(dAz/dx)/dy=d(dAz/Dy)/dx. Même constat, mais cette fois le rotationnel vaut Fx=dAz/dy-0, Fy=0-dAz/dx, Fz=0-0
On a bien dFx/dx+dFy/dy=0.
Finalement, cela revient à prendre le champ de rotationnel nul de la première question, et à tourner en tout point les vecteurs de 90° (Ex devient Fy, Ey devient -Fx)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea33ced2b]

Merci

Prenons (par rapport au 1er cas)
dEx/dy=dEy/dx

Posons Ex=x
donc
dx/dy = dEy/dx
> Ey=dx^2/d^2y
Je ne sais pas si cela est bien posé.. ni même le résultat que ça donnerait.

Merci encore

[Resartus]

Vos manipulations de dx dy sont incorrectes. Il faudrait retrouver un cours de maths sur la notation différentielle et les dérivées partielles.

Des exemples de calcul :

Si Ex=x, alors dEx/dy=0 (la dérivée partielle de la fonction x par rapport à y est nulle). Donc dEy/dx=0 et cela entraîne Ey=f(y) : pas de variation avec x. N'importe quelle f fait l'affaire, par exemple y, mais aussi y², cos(y)...

Si on prenait par exemple Ex=x^2+xy, on aurait dEx/dy=x, d'où dEy/dx=x, soit Ey=f(y) + x^2/2 (primitive de la fonction x)