Théorème de shannon

[cosmoff]

Bonjour,

la formule du théorème de shannon est : Fe >= 2Fi, avec Fe la fréquence d'échantillonage et Fi la fréquence du signal d'information.
Si Fi est un sinus, alors je suis sensé pouvoir récupéré l'information si Fe = 2Fi, car je respecte le théorème de shannon. Or je vais récupérer dans ce cas un signal carré car je ne récupère que deux échantillons par période. Donc c'est faux de dire qu'on peux récupérer le signal avec seulement Fe=2Fi, ou alors je n'ai pas compris ce théorème ?

merci d'avance pour votre aide
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[inviteede7e2b6]

aprés filtrage correspondant à la bande passante , tu récupères bien une sinus.
puisque tu ne peux avoir de composante supérieure à Féchantillonnage/2

attention , c'est un cas limite

[Amanuensis]

Et il y a une grosse différence entre "récupérer l'information" et "récupérer le signal".

[inviteede7e2b6]

je ne pige pas la sémantique de la question

lors d'un passage numérique>analogique , la fréquence maximum restituée correspond à Fech/2

on fait donc suivre d'un filtre qui bloque à cette fréquence limite , pour ne pas laisser passer
d'artefacts qui n'ont aucune signification.

[A voir en vidéo sur Futura]

[SULREN]

Bonjour,
Ils ont raison, « même moi je crois avoir compris ».

Voyons voir :
Si le signal à échantillonner est supposé d’une pureté spectrale absolue (la sinusoïde), l’échantillonnage à F égal strictement à 2Fi donne 2 points par période, qui pourraient être interprétés comme un signal carré ou une dent de scie, ou…., mais qui n’auraient pas une pureté spectrale absolue.
En revenant à l’hypothèse de départ on ne peut donc que conclure que c’est une sinusoïde.

Mais quid de l’amplitude ? Les deux points d’échantillonnage sur la sinusoïde peuvent tomber entre 0 et amplitude max et retomberont toujours au même endroit puisque F = 2Fi.
On peut donc conclure à la mauvaise amplitude, ou je me trompe ?
Mais si on dit F est strictement supérieur à 2Fi, on retrouve forcément la bonne amplitude.

Bon, je ne vais quand même pas en conclure que Shannon a pris un risque en écrivant > ou = et pas > tout court. J’ai dû mal comprendre.

[inviteb9f49292]

Quelques précisions "sémantiques" (c'est mon interprétation en tant que traiteur du signal occasionnel, mais on serait + proche de la théorie de l'information)

En toute rigueur ce n'est pas la fréquence max (de l'information), mais la bande passante (de l'information) qui doit être inférieure à la moitié de la fréquence d'échantillonnage. On fait le raccourci car bien souvent on fait l'acquisition du signal en partant de 0Hz. En effet, le problème est dû au recouvrement du spectre: ce qui est au-delà de Fe/2 se retrouve en bas de spectre, mais si en bas il n'y a rien (parce que ton signal d'intérêt à une fréquence min, donc rien de 0 à Fmin), et bien tu retrouves ton spectre transposé en fréquence d'un nombre entier de Fe/2 (je crois que c'est souvent utilisé en 1er étage de démodulateur radio).

Et il faut comprendre que c'est l'information transportée par le signal qui est conservée, pas le signal. En gros l'information du signal c'est les fréquences qu'il transporte. En échantillonnant à Fe, tu "signes un contrat" t'engageant à ne pas envoyer de fréquences au-delà de Fe/2. Ton sinus à Fe/2, une fois échantillonné, tu le reçois sous forme d'un presque carré et tu de dis "mon bô sinus est devenu tout môche -> j'ai perdu du détail", mais en fait non, il transporte l'info Fe/2. Une autre manière de le voir est que tu peux tout à fais reconstituer ton sinus de manière aussi précise que tu veux par interpolation sinus-cardinal (zero-padding...). D'ailleurs c'est bien souvent ce qui est fait dans le dernier étage des convertisseurs numérique analogique (en tout cas les cartes sons RME). Et c'est bien évidemment vrai avec tout signal respectant Shannon.

Je précise que ce sont des confusions qui sont présentes même chez des "pro" du traitement du signal (et je ne parle pas des gens qui vendent les câble en or/kevlar à 1000$ le mètre)

[ordage]

je ne pige pas la sémantique de la question

lors d'un passage numérique>analogique , la fréquence maximum restituée correspond à Fech/2

on fait donc suivre d'un filtre qui bloque à cette fréquence limite , pour ne pas laisser passer
d'artefacts qui n'ont aucune signification.

Salut
Si je me souviens, en théorie, si c'est un filtre numérique de type FIR, il devrait avoir un nombre de coefficients égal aux nombre d'échantillons reçus pour une restitution parfaite. En pratique 128 coefficients donne une très bonne restitution.
Cordialement

[inviteb9f49292]

Mais quid de l’amplitude ?

Elle est bien contenu dans l'amplitude de l'échantillon + le déphasage de la fréquence d'échantillonnage par rapport à la fréquence de ton sinus. C'est très mal dis, mais tu peux t'amuser à le faire sous MATLAB.

[inviteede7e2b6]

Bonjour,
Ils ont raison, « même moi je crois avoir compris ».

Voyons voir :
Si le signal à échantillonner est supposé d’une pureté spectrale absolue (la sinusoïde), l’échantillonnage à F égal strictement à 2Fi donne 2 points par période, qui pourraient être interprétés comme un signal carré ou une dent de scie, ou…., mais qui n’auraient pas une pureté spectrale absolue.
En revenant à l’hypothèse de départ on ne peut donc que conclure que c’est une sinusoïde.

Mais quid de l’amplitude ? Les deux points d’échantillonnage sur la sinusoïde peuvent tomber entre 0 et amplitude max et retomberont toujours au même endroit puisque F = 2Fi.
On peut donc conclure à la mauvaise amplitude, ou je me trompe ?
Mais si on dit F est strictement supérieur à 2Fi, on retrouve forcément la bonne amplitude.

Bon, je ne vais quand même pas en conclure que Shannon a pris un risque en écrivant > ou = et pas > tout court. J’ai dû mal comprendre.

discutable , car Shannon précise bien strictement inférieur à Fe/2
donc la sinus "glissera" le long des points d'échantillonnage et passera par son maximum...

mais là , on glisse vers la discussion byzantine.

[inviteb9f49292]

strictement inférieur à Fe/2

Je confirme le strictement, la fréquence Fe/2 (et tous ses multiples) étant repliée sur la fréquence 0Hz

[cosmoff]

merci pour vos réponses, je pense avoir saisie l'idée mais il y a un point que je n'ai toujours pas compris. Dans le cas ou je transmets de la voix. J'ai donc plusieurs fréquences qui interviennent entre 20Hz et 20KHz, donc je prends comme fréquence d’échantillonnage 40001 Hz pour respecter le théorème de shannon et etre sur de pouvoir récupérer toutes les signaux des différentes fréquences. Mais dans le cas ou le sinus est à la fréquence de 20KHz, je peux tres bien tomber sur une valeur tres petite en amplitude quand le signal est positive et également une valeur tres petites en amplitude quand le signal est négative. Mon signal récupéré sur cette partie du signal va donc etre totalement écrasé, et je ne pourrais pas savoir comment étais cette partie du signal ?

[inviteede7e2b6]

c'est pourquoi on se réserve une marge. sinon il faudrait utiliser un filtre parfait...

pour la numérisation des CDs , qui monte à 20 kHz , la fréquence d'échantillonnage est de 44,1 kHz

(le choix est assez tordu pour des raisons historiques, mais hors sujet ici )

[b@z66]

merci pour vos réponses, je pense avoir saisie l'idée mais il y a un point que je n'ai toujours pas compris. Dans le cas ou je transmets de la voix. J'ai donc plusieurs fréquences qui interviennent entre 20Hz et 20KHz, donc je prends comme fréquence d’échantillonnage 40001 Hz pour respecter le théorème de shannon et etre sur de pouvoir récupérer toutes les signaux des différentes fréquences. Mais dans le cas ou le sinus est à la fréquence de 20KHz, je peux tres bien tomber sur une valeur tres petite en amplitude quand le signal est positive et également une valeur tres petites en amplitude quand le signal est négative. Mon signal récupéré sur cette partie du signal va donc etre totalement écrasé, et je ne pourrais pas savoir comment étais cette partie du signal ?

Non, le fait de prendre une fréquence d’échantillonnage légèrement supérieure à 2Fi va justement permettre un "glissement/décalage" des valeurs des échantillons d'une période du signal de départ à une autre et, au bout d'un moment, cette valeur échantillonnée prendra bien la valeur max de ton signal de départ. La durée qu'il faudra avant de retrouver ce max de ta sinusoïde 20KHz sera bien sûr d'autant plus grande que la moitié de ta fréquence d'échantillonnage sera proche de FI. A vue d'oeuil, je parierai que pour un écart de 1Hz entre ces deux fréquences, il faudra attendre au moins une durée de l'ordre d'au moins une seconde pour être à peu près sûr de retrouver l'amplitude du signal initial de 20KHz. Bien sûr cela impose des conditions très stricte(voir trop stricte) au filtre qui suit pour retrouver le signal initial à partir du signal échantillonné, c'est pour cela qu'on se réserve une marge comme expliqué par PIXEL.

[cosmoff]

oui mais dans le cas du "glissement/décalage" le signal doit etre périodique est d'une durée assez longue pour pouvoir récupérer à un moment les valeurs max. Mais dans le cas ou je veux récupérer de la voix : donc quelqu'un qui parle dans un micro, le signal n'est pas périodique et les fréquences varies, et donc si je me retrouve à un moment 't', à une fréquence de 20Khz et que ma fréquence d'échantillon est de 40001 Hz, il y a des risques que je récupère des amplitudes trop faible pour refaire mon signal de départ.

[b@z66]

oui mais dans le cas du "glissement/décalage" le signal doit etre périodique est d'une durée assez longue pour pouvoir récupérer à un moment les valeurs max. Mais dans le cas ou je veux récupérer de la voix : donc quelqu'un qui parle dans un micro, le signal n'est pas périodique et les fréquences varies, et donc si je me retrouve à un moment 't', à une fréquence de 20Khz et que ma fréquence d'échantillon est de 40001 Hz, il y a des risques que je récupère des amplitudes trop faible pour refaire mon signal de départ.

Non, les fréquences ne "varient" pas, les fréquences restent toujours à la même fréquence en gardant la même amplitude(cela peut choquer, par son côté limitatif, quand on applique cela à la "complexité" ou "richesse" de la voix mais il faut bien garder à l'esprit que l'hypothèse faite dessus de fréquence allant de 20 à 20KHz est déjà limitative en soit). Quand on a un signal complexe, son étude par Fourier permet de décomposer en fréquences "pures" sur lesquelles on peut individuellement appliquer le même raisonnement fait avec ta fréquence de 20KHz pure précédente. La "magie" du Fourier fait qu'ensuite, par linéarité, on peut recomposer le signal temporel de départ en gardant globalement valide le raisonnement suivi pour chacune des fréquences.