Tenseur énergie-impulsion

[invitecb53bab6]

Bonjour,

Dans le cadre de mon étude de la relativité générale, je rencontre le tenseur énergie-impulsion. Or je ne sais absolument pas de quoi il s'agit.

Comment le définit-on? Comment peut-on le calculer? Pourquoi est-ce un tenseur?

Pour ce qui est de l'équation d'Einstein, on égalise le tenseur d'Einstein et le tenseur énergie impulsion . En dehors de la matière, ce tenseur est nul donc comment expliquer qu'une certaine masse (par exemple le soleil) a une influence sur la métrique en un certain point de l'espace temps car on doit seulement avoir l'équation ou est le tenseur de Ricci? Cette équation ne prend pas en compte la matière environnante...

merci pour vos réponses
-----

[phys4]

Bonjour,

Je transpose votre remarque en électromagnétisme :
Dans la plus grande partie de l'espace, il n' y a pas de charges, donc la divergence du champ est nulle, donc le champ est nul.
La dernière déduction est évidemment fausse, car la continuité du champ impose que le champ en un point dépende de toutes les charges alentour et non seulement des charges locales.

Il en de même pour la gravitation, dans l'espace vide le tenseur énergie-impulsion est nul et la courbure locale est nulle,
cependant s'il existe des masses alentour alors la continuité de l'espace impose une distorsion des coordonnées pour satisfaire les conditions aux limites.

[Amanuensis]

Il en de même pour la gravitation, dans l'espace vide le tenseur énergie-impulsion est nul et la courbure locale est nulle,
cependant s'il existe des masses alentour alors la continuité de l'espace impose une distorsion des coordonnées pour satisfaire les conditions aux limites.

Pas clair, peut-être la même chose que je vais écrire dans le message suivant, peut-être pas.

[Amanuensis]

Comment le définit-on? Comment peut-on le calculer? Pourquoi est-ce un tenseur?

C'est une densité de tenseur. On prend un petit volume-durée d'espace-temps, on y additionne tous les énergies-impulsions x d\tau, et on divise par le quadri-volume. La densité de tenseur en un événement est la limite en faisant tendre le quadri-volume vers 0.

Pour ce qui est de l'équation d'Einstein, on égalise le tenseur d'Einstein et le tenseur énergie impulsion .

Certes, mais le tenseur d'Einstein n'est pas le tenseur de courbure.

En dehors de la matière, ce tenseur est nul

Oui, mais pas nécessairement le tenseur de courbure

donc comment expliquer qu'une certaine masse (par exemple le soleil) a une influence sur la métrique en un certain point de l'espace temps car on doit seulement avoir l'équation ou est le tenseur de Ricci? Cette équation ne prend pas en compte la matière environnante.

Le "reste" du tenseur de courbure, ce qui n'est pas contraint par l'équation d'Einstein, contient l'effet de la matière environnante (ainsi que celui des conditions aux limites).

L'exemple le plus parlant est la solution de Schwarzschild (pour l'extérieur de l'horizon), qui est une solution du vide (le tenseur d'Einstein est partout nul). Le reste du tenseur de courbure est l'effet des conditions aux limites, celles sur l'horizon (en pratique c'est calculé à partir de conditions de symétrie et de platitude à l'infini, dont on déduit que les conditions aux limites ne dépendent que d'un paramètre, interprété comme une masse ou comme un périmètre d'horizon).

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

C'est une densité de tenseur. On prend un petit volume-durée d'espace-temps, on y additionne tous les énergies-impulsions x d\tau, et on divise par le quadri-volume. La densité de tenseur en un événement est la limite en faisant tendre le quadri-volume vers 0.

Désolé, c'est faux. C'est une densité-flot de tenseur. J'ai écrit trop vite, me faut du temps pour écrire proprement ce que c'est de manière compréhensible.

[invite6c093f92]

Réponse pour essai:

Il en de même pour la gravitation, dans l'espace vide le tenseur énergie-impulsion est nul et la courbure locale est nulle.

IL me semble que non, on peut avoir une courbure avec un TEI nul, par exemple dans un univers vide sauf avec des OG.

Or je ne sais absolument pas de quoi il s'agit.

Ca généralise en 4D le tenseur des contraintes.

L'important est le tenseur de Ricci (pour la courbure).
En espérant ne pas en dire de grosses, mais comme c'est un "essai".

[invite6c093f92]

L'important est le tenseur de Ricci (pour la courbure).

Heu...si localement, pas d' E-I, le tenseur de Ricci->nul, donc le tenseur scalaire (R)->nul, comme ça annule que 10 paramètres de la courbure, il reste quand même le tenseur de Weyl...donc la courbure n'est pas nulle.

[invitecb53bab6]

merci à tous pour vos réponses!

Pouvez-vous m'indiquer un ouvrage ou un cours en ligne dont le sujet est le tenseur énergie-impulsion? Pour que je puisse me familiariser avec.

Le "reste" du tenseur de courbure, ce qui n'est pas contraint par l'équation d'Einstein, contient l'effet de la matière environnante (ainsi que celui des conditions aux limites).

L'exemple le plus parlant est la solution de Schwarzschild (pour l'extérieur de l'horizon), qui est une solution du vide (le tenseur d'Einstein est partout nul). Le reste du tenseur de courbure est l'effet des conditions aux limites, celles sur l'horizon (en pratique c'est calculé à partir de conditions de symétrie et de platitude à l'infini, dont on déduit que les conditions aux limites ne dépendent que d'un paramètre, interprété comme une masse ou comme un périmètre d'horizon).

Heu...si localement, pas d' E-I, le tenseur de Ricci->nul, donc le tenseur scalaire (R)->nul, comme ça annule que 10 paramètres de la courbure, il reste quand même le tenseur de Weyl...donc la courbure n'est pas nulle

Je vois... Je pensais que l'équation d'Einstein imposait beaucoup plus les coefficients de la métrique. Je vais maintenant étudier la solution de Schwarzschild. Savez-vous si d'autres physiciens qu'Einstein se sont basés sur une autre équation pour fonder une théorie différente de la relativité générale?

[ordage]

merci à tous pour vos réponses!

1-Pouvez-vous m'indiquer un ouvrage ou un cours en ligne dont le sujet est le tenseur énergie-impulsion? Pour que je puisse me familiariser avec.

Salut
1- cela doit se trouver dans tous les bons ouvrages.

L'équation d'Einstein se déduit du principe de moindre action.
Pour cela il faut définir une action, Hilbert en propose une "SH", pour cette équation dans le vide (action de la courbure).
Quand on est pas dans le vide, il faut rajouter l'action de la matière-énergie "SM" dans l'action qui devient alors ("SH+SM") sur laquelle on va appliquer ce principe de moindre action (appelé aussi principe variationnel, qui en fait établit des conditions extrémales).
Ce sont ces contraintes plus la symétrie de ce tenseur qui imposent la forme du tenseur énergie impulsion.
Par exemple, ceci est décrit dans:

http://www-cosmosaf.iap.fr/MIT-RG4F.pdf

à partir du chapitre " l'action d'Hilbert" pour comprendre la démarche (au dessus de l'équation (54))

jusqu'au chapitre

"Déclinaisons modernes de l’équation d’Einstein (EE) par utilisation de variantes de l’action"
où on étudie des variantes de l'EE.

Ce n'est pas évident à lire par le menu, mais on peut se cantonner à suivre la démarche.

Cordialement

[invitecb53bab6]

merci pour le lien, je vais essayer d'étudier la méthode de Hilbert

[invitecb53bab6]

Finalement j'ai trouvé une définition du tenseur énergie impulsion :

où est l'intervalle d'espace temps et la densité volumique d'énergie.

Par contre, comment se transforme cette expression lors d'un changement de référentiel ? Comment se comporte la densité volumique d'énergie lors d'un changement de référentiel?
Celle-ci devrait changer n'est-ce pas ?

merci