tenseur énergie impulsion

[kalish]

Bonsoir j'ai un petit bouquin vert dans la dernière édition, traduit du russe, où il est question de champs électriques, de tenseurs et même "un peu" de gravitation. Après avoir définit le tenseur énergie impulsion du champ électromagnétique, monsieur L introduit celui de la matière, ici une assemblée de particules. Il cherche ensuite immédiatement à voir si il y a conservation de l'impulsion, et de l'énergie en même temps. C'est là que je ne comprends pas sa démarche, il dérive "totalement": je veux dire qu'il y a sommation des dérivées sur les quatre indices, mais il laisse un indice "flottant". C'est à dire qu'il ne dit pas qu'il se met spécialement à la ligne 0, et il veut somme des dérivées = 0.
Si il ne précise pas la ligne je me dis que ça doit être valable pour toutes les lignes, dans ce cas là je ne vois pas pourquoi, il me semble que les autres composantes du tenseur ont peu à voir avec le quadri vecteur énergie impulsion. Qu'est-ce que ça reflète comme conservation, celle des composantes du 3*3 en "bas à droite"?
Pour ceux qui l'ont, et qui veulent bien me répondre c'est page 112.
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[vaincent]

Qu'est-ce que ça reflète comme conservation, celle des composantes du 3*3 en "bas à droite"?

salut,

c'est la conservation du flux d'impulsion, dit autrement du courant d'impulsion. On peut voir ça comme un circuit électrique, où tout ce qui rentre dans une "maille d'espace-temps" doit en sortir.

[kalish]

Ben je vois bien quand il s'agit juste d'un vecteur (quadri ou pas), mais en plus je m'imagine une conservation sur chaque composante. Et ces composantes là du tenseur (je parle bien du tenseur d'ordre 2) sont le flux d'impulsion? Quelle différence avec le quadri vecteur? Je me lance sans parachute: les composantes spatiales du 4 vecteur inclus dans le 4 tenseur décrivent la densité d'impulsion, et les autres le flux?

EDIT: fotes d'aurtograff

[mariposa]

Ben je vois bien quand il s'agit juste d'un vecteur (quadri ou pas), mais en plus je m'imagine une conservation sur chaque composante. Et ces composantes là du tenseur (je parle bien du tenseur d'ordre 2) sont le flux d'impulsion? Quelle différence avec le quadri vecteur? Je me lance sans parachute: les composantes spatiales du 4 vecteur inclus dans le 4 tenseur décrivent la densité d'impulsion, et les autres le flux?

EDIT: fotes d'aurtograff

Par construction mathématique une composante d'un tenseur ne se conserve pas. (sauf pour les tenseurs de rang zéro).

[A voir en vidéo sur Futura]

[vaincent]

Ben je vois bien quand il s'agit juste d'un vecteur (quadri ou pas), mais en plus je m'imagine une conservation sur chaque composante. Et ces composantes là du tenseur (je parle bien du tenseur d'ordre 2) sont le flux d'impulsion? Quelle différence avec le quadri vecteur? Je me lance sans parachute: les composantes spatiales du 4 vecteur inclus dans le 4 tenseur décrivent la densité d'impulsion, et les autres le flux?

EDIT: fotes d'aurtograff

non, chaque composante n'est pas conservée seule.

Si l'on considère un ensemble de particules chargées sources d'un champs EM (par exemple), le tenseur énergie-impulsion total du système particules-champs est simplement la somme suivante :



la conservation de l'énergie et de l'impusion totales du système s'écrit :

(0 est le 4-vecteur nul)





(j'ai ici assigné les coordonnées espace-temps t,x,y,z à l'indice plutôt que les nombres 0,1,2,3 et j'ai enlevé l'indice tot pour ne pas surcharger l'expression)

c'est donc la somme de quatre 4-vecteurs qui est nulle, puisque l'égalité précédente est équivalente au système :






voilà comment s'écrit explicitement la conservation de l'énergie et de l'impulsion totale du système.
Tu remarque bel et bien que ce n'est pas la dérivé de chaque composante du tenseur qui est nulle, mais la somme de dérivés par rapport aux composantes d'espace-temps prises dans un certain ordre (l'ordre ligne-colonne)
De plus il y a conservation non plus uniquement par rapport au temps mais par rapport à l'espace-temps(la relativité rétablie l'équivalence de chaque coordonnées entre elles).

p.s : je m'étais un peu avancé dans mon post précédent où je disais qu'il y avait conservation du flux d'impulsion. C'est la conservation du flux énergie-impulsion (i.e. de tout le tenseur) qui est vérifiée. Désolé

[kalish]

Merci pour ces réponses mais je vais peut-être être un peu insistant, en mécanique classique on prend bien, dans un système fermé, chaque composante? Et, indépendamment, on vérifie la conservation de l'énergie, ça en fait une caractéristique parfaite pour une composante d'un vecteur. Du moins je crois, car pour moi c'est la définition d'un vecteur, un vecteur se définit comme la projection de la norme sur d'autres vecteurs, eux normés et indépendants formant une base, ici, dans l'espace de minkowski. Il me semble qu'on ne peut pas faire passer du x en y en méca classique, c'est bien pour ça qu'on utilise la notation vectorielle?
Bien sur il y a un lien dans la norme, il faut justement prendre la somme des produits scalaires de chaque composante avec elles même, ça me choque vraiment de passer d'une coordonnée à l'autre.
Autre chose, il ne manque pas un signe - aux composantes "spatiotemporelles" et aussi un 1/c dans le "démumu"?
j'insiste un peu car si on prend uniquement le tenseur du champ la première ligne correspond au vecteur de poynting, or je crois bien que sans interaction on vérifie la conservation sur chaque composante.
Un dernier ptit point, j'ai un peu de mal avec les "plans" xx, yy, zz?

[kalish]

heu désolé je sais pas ce qui m'a prit, non il ne manque pas de - aux composantes spatiotemporelles.

[vaincent]

Autre chose, il ne manque pas un signe - aux composantes "spatiotemporelles" et aussi un 1/c dans le "démumu"?

Un dernier ptit point, j'ai un peu de mal avec les "plans" xx, yy, zz?

ici j'ai posé c=1 (on en a tout à fait le droit puisque c est une constante, on peut la rendre unitaire et sans dimension. l'analyse dimensionnelle en fin de calcul rétablit ce facteur), donc ct=t et donc au lieu de dérivé par rapport à la coordonnée "ct"(coordonnée habituellement d'indice mu=0 du 4-vecteur coordonnées) on dérive par rapport à t.
J'ai écrit "xx", "xy", etc... pour être plus clair car en relativité nous sommes dans R⁴ où chaque axe (il y en a 4) représente l'ensemble des valeurs prisent par t, x, y, z (les 3 coordonnées d'espaces habituelles + le temps). Mais on peut très bien utiliser les 0, 1, 2, 3 au lieu des t, x, y, z si tu préfères.

Merci pour ces réponses mais je vais peut-être être un peu insistant, en mécanique classique on prend bien, dans un système fermé, chaque composante? Et, indépendamment, on vérifie la conservation de l'énergie, ça en fait une caractéristique parfaite pour une composante d'un vecteur. Du moins je crois, car pour moi c'est la définition d'un vecteur, un vecteur se définit comme la projection de la norme sur d'autres vecteurs, eux normés et indépendants formant une base, ici, dans l'espace de minkowski. Il me semble qu'on ne peut pas faire passer du x en y en méca classique, c'est bien pour ça qu'on utilise la notation vectorielle?
Bien sur il y a un lien dans la norme, il faut justement prendre la somme des produits scalaires de chaque composante avec elles même, ça me choque vraiment de passer d'une coordonnée à l'autre.

en fait tu confonds 2 équations fondamentales : la conservation du tenseur énergie-impulsion par rapport aux 4-coordonnées et la conservation du 4-vecteur énergie impulsion par rapport au temps (on aura donc forcément [énergie-impulsion]_initiale=[énergie-impulsion]_finale, comme habituellement)

Pour comprendre ce qui se passe il faut faire appel au théorème de Noether qui dit qu'à toute transformation continue des champs (ou du champs), dont dépend la densité lagrangienne [Lagrangien = intégrale sur les 4-coordonnée (densité lagrangienne)], qui laisse cet densité langrangienne invariante, correspond une quantité conservée.

Lorsqu'on impose une transformation des coordonnées du type :



(où est une petite variation des coordonnées)
à un système quelconque, cela va avoir pour effet de transformer continuement les champs et on peut alors montrer gràce à quelques calculs et aux équations d'Euler-Lagrange (déduites du principe de moindre action) que l'on obtient en premier lieu l'équation :



où

( la densité lagangienne qui dépend de et de , le ou les champs dont dépend cette densité (par exemple pour le champs EM c'est le 4-potentiel composé du potentiel scalaire et du potentiel vecteur noté ), le delta de Kronecker en 4 dimensions, et on note )

On dit que le tenseur énergie-impulsion est le courant de Noether. C'est lui la quantité conservée. De la conservation du tenseur énergie-impulsion par rapport aux 4-coordonnées on peut en déduire la suivante pour le 4-vecteur impulsion-énergie :



dont la composante temporelle [] est l'expression habituel de la conservation de l'énergie mécanique totale (cinétique + potentielle) d'un système subissant une force conservative.

On dit que le 4-vecteur impulsion-énergie est la charge de Noether. C'est une constante du mouvement de la même façon qu'en mécanique non-relativiste.

[Attention l'équation ne se déduit pas trivialement de et ne saurait en être qu'une partie]

Ici en effet la dérivée par rapport aux temps de chaque composante de l'énergie-impulsion est nulle, elles sont conservées au cours du temps. Je pense que ça devait être ce à quoi tu pensais

[vaincent]

petite erreur, il fallait lire :



(l'indice nu dans le membre de droite doit-être en haut)

[kalish]

Oui!!!! merci c'est exactement ça, j'étais complètement parti bille en tête, je viens de me réveiller en me disant: Damn!!!! c'est qu'une quadri divergence, comme une charge électrique, chuis tro bête. (enfin sur chaque ligne)
désolé.