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Vecteurs propres du tenseur énergie-impulsion



  1. #1
    Lévesque

    Vecteurs propres du tenseur énergie-impulsion


    ------

    Bonjour,

    j'ai vu dans certains textes que le tenseur énergie-impulsion pouvait être considéré comme un opérateur.

    Il y a donc une quantité physique (valeur propre) associée à cet opérateur(?) et un spectre (surement continu) d'états (vecteur propre) associés à l'opérateur(?).

    Ces considérations ont lieux dans quelle théorie? J'aimerais beaucoup avoir vos sources sur le sujet.

    Merci infiniment,

    Simon

    -----

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  3. #2
    GillesH38a

    Re : Vecteurs propres du tenseur énergie-impulsion

    pas un opérateur sur les fonctions d'onde, enfin je ne crois pas....Tout tenseur a deux indices mixtes est un operateur puisqu'en le contractant avec un 4-vecteur on forme un nouveau 4-vecteur.

    Sinon, il est diagonal dans le référentiel en comouvement avec la matière, les 3 valeurs propres spatiales sont les pressions (égales si le fluide est parfait) et la temporelle est la densité propre d'énergie (ou de masse).

  4. #3
    Lévesque

    Re : Vecteurs propres du tenseur énergie-impulsion

    Citation Envoyé par gillesh38
    pas un opérateur sur les fonctions d'onde, enfin je ne crois pas....Tout tenseur a deux indices mixtes est un operateur puisqu'en le contractant avec un 4-vecteur on forme un nouveau 4-vecteur.

    Sinon, il est diagonal dans le référentiel en comouvement avec la matière, les 3 valeurs propres spatiales sont les pressions (égales si le fluide est parfait) et la temporelle est la densité propre d'énergie (ou de masse).
    Ok, je ne l'ai pas vu tout de suite, mais évidemment, on a 4 vecteurs propres orthogonaux. J'imagine que le vecteur propre correspondant à l'énergie-impulsion a comme valeur propre la densité propre d'énergie? Les trois autres vecteurs..ils ont un sens? ils sont utiles?

    Est-ce qu'une interprétation en terme de mesure est possible? Je veux dire, un peut du style MQ? Le tenseur est notre opérateur, tandis que les vecteurs propres sont les états bien définis...tu vois ce que je veux dire?

    Tu n'aurais pas une source ou deux, je dois voir ca assez sérieusement.

    Merci encore gillesh38!

    Simon

  5. #4
    Rincevent

    Re : Vecteurs propres du tenseur énergie-impulsion

    Citation Envoyé par Lévesque
    Les trois autres vecteurs..ils ont un sens? ils sont utiles?
    tout dépend de comment est construit ton tenseur énergie-impulsion

    ce qu'il faut pas oublier, c'est que pour de la matière ce truc peut être vu comme le flux du vecteur densité d'énergie-impulsion. Autrement dit, c'est un vecteur qui correspond aux flux de 4 quantités : la densité d'énergie et les densités d'impulsion le long de 3 directions spatiales (la pression étant la grandeur qui correspond au flux d'impulsion comme on le montre en phys stat)

    pour le tenseur EI, regarde par exemple celui pour un fluide parfait dans le cours de Carroll si tu connais pas ou t'en souviens pas (le chapitre est sur la RR mais en RG c'est très semblable)

    http://pancake.uchicago.edu/~carroll/notes/one.ps

    sinon, si je me souviens bien, l'histoire des vecteurs propres ainsi que divers trucs liés sont développés dans le bouquin d'intro à la RG de Malcom Ludwigsen ("la relativité générale, une approche géométrique"). C'est pas un bouquin que je recommande fortement, mais je suis quasi-certain que ce point est développé...

    pour faire une parenthèse, faut voir que la notion de projection est cachée derrière ça et est un truc plus important pour la RG. Exemple : l'énergie d'une particule que mesure un observateur n'est rien de plus que la projection de la quadri-impulsion de la particule le long de la 4-vitesse de l'observateur. L'impulsion n'est rien de plus que la projection de cette même 4-impulsion sur l'hypersurface orthogonale à la 4-vitesse, etc... ça se généralise pour toutes les grandeurs (cf aussi le formalisme 3+1). Va voir dans le MTW par exemple.

    Est-ce qu'une interprétation en terme de mesure est possible? Je veux dire, un peut du style MQ? Le tenseur est notre opérateur, tandis que les vecteurs propres sont les états bien définis...tu vois ce que je veux dire?
    dans la "logique quantique", le tenseur énergie-impulsion est remplacé par un opérateur agissant dans un espace de Hilbert dont les vecteurs sont des états du tenseur classique... autrement dit, pour chaque composante du tenseur EI tu as un opérateur... c'est pas exactement pareil.

    c'est ce qui est fait dès qu'on essaie de quantifier la gravitation. Car si tu prends une version naïvement quantique de la RG, tu vois que l'opérateur EI doit être égal à un opérateur géométrique hérité du tenseur d'Einstein.

  6. #5
    Lévesque

    Re : Vecteurs propres du tenseur énergie-impulsion

    Citation Envoyé par Rincevent
    tout dépend de comment est construit ton tenseur énergie-impulsion
    Quantité conservée par le théorème de Noether. Par exemple, on utilise le principe variationnel pour un lagrangien satisfaisant l'équation de Dirac invariant sous une translation spatiotemporelle.
    Citation Envoyé par Rincevent
    pour le tenseur EI, regarde par exemple celui pour un fluide parfait dans le cours de Carroll si tu connais pas ou t'en souviens pas (le chapitre est sur la RR mais en RG c'est très semblable)

    http://pancake.uchicago.edu/~carroll/notes/one.ps
    Parfait, merci. Je néglige la gravité alors...
    Citation Envoyé par Rincevent
    pour faire une parenthèse, faut voir que la notion de projection est cachée derrière ça et est un truc plus important pour la RG. Exemple : l'énergie d'une particule que mesure un observateur n'est rien de plus que la projection de la quadri-impulsion de la particule le long de la 4-vitesse de l'observateur.
    La quadri-impulsion n'est pas m fois la 4-vitesse?
    Citation Envoyé par Rincevent
    L'impulsion n'est rien de plus que la projection de cette même 4-impulsion sur l'hypersurface orthogonale à la 4-vitesse
    Même question.
    Citation Envoyé par Rincevent
    dans la "logique quantique", le tenseur énergie-impulsion est remplacé par un opérateur agissant dans un espace de Hilbert dont les vecteurs sont des états du tenseur classique... autrement dit, pour chaque composante du tenseur EI tu as un opérateur... c'est pas exactement pareil.
    Ok. En lisant cela, je me rappelle de mon cours de MQ relativiste, qu'on remplaçait P et E dans la 4-impulsion par leurs opérateurs respectifs de la MQ. Dans le cas où on remplace les composantes du tenseur par des opérateurs, est-ce qu'on fait la même chose pour les 4-vecteur? Parce que je pige plus si le 4-vecteur est une liste d'opérateurs, et que cette liste est un vecteur propre du tenseur EI, un tableau d'opérateurs.. Des opérateurs agissants sur des opérateurs...

    Merci Rincevent.. tu me fais gagner beaucoup de temps.



    Simon
    Dernière modification par Lévesque ; 28/09/2005 à 19h36.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Rincevent

    Re : Vecteurs propres du tenseur énergie-impulsion

    Citation Envoyé par Lévesque
    Quantité conservée par le théorème de Noether. Par exemple, on utilise le principe variationnel pour un lagrangien satisfaisant l'équation de Dirac invariant sous une translation spatiotemporelle.
    oui, oui, je m'étais mal exprimé : je voulais dire que le "nom" des valeurs propres dépend du système dont tu parles (pression pour un fluide, etc). Mais en fait, pas vraiment : dans tous les cas c'est une densité d'impulsion... que ce soit la pression d'un fluide ou celle d'un champ électromagnétique...

    La quadri-impulsion n'est pas m fois la 4-vitesse?
    si, si, tu peux la définir comme ça (pour une particule massive) mais aussi dans un formalisme lagrangien plus général comme le moment conjugué du vecteur "flux de particules" (lequel vaut la densité de particules dans le référentiel comobile fois la quadrivecteur pour un fluide "massif"). M'enfin, je suis pas sûr de voir où tu voulais en venir avec cette question... tu devais savoir ce que je viens de dire..

    idem pour la définition de l'impulsion, qui est justement soit le soit plus proprement 'la projection sur l'hyperplan etc'...

    Des opérateurs agissants sur des opérateurs...
    ils agissent pas dans le même espace vectoriel donc pas de problème... regarde ça comme un bête produit tensoriel si tu préfères...

    m'enfin, j'avoue que je sais pas si on utilise réellement le fait de regarder le tenseur énergie-impulsion comme un opérateur sur un espace (co)tangent minkowskien... en RG j'ai vu ce truc mentionné que très très peu, et jamais dans autre chose que des cours d'intro... je dis pas que ça sert jamais (y'a têt des contre-exemples que j'ai jamais vus), mais ça me semble pas fondamental... il est plus important d'avoir compris que le tenseur énergie impulsion est la généralisation 4D du tenseur des contraintes...

    dans quel cadre tu as croisé ça si c'est pas indiscret ?

    merci
    you're welcome

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  10. #7
    Lévesque

    Re : Vecteurs propres du tenseur énergie-impulsion

    Citation Envoyé par Rincevent
    ils agissent pas dans le même espace vectoriel donc pas de problème... regarde ça comme un bête produit tensoriel si tu préfères...
    OK!
    Citation Envoyé par Rincevent
    dans quel cadre tu as croisé ça si c'est pas indiscret ?
    Je travaille sur l'invariance relativiste de phénomènes individuels en MQ. En fait, je parcours l'ensemble des solutions aux conflits apparents entre non-localité et relativité. On a choisi de regarder ça par l'interprétation bohmienne, parce qu'on a un cadre mathématique clair pour la description de ces phénomènes. Parmi les solutions proposées il y a celle de Dewdney et Horton:

    Horton, Time-like flows of energy-momentum and particle trajectories for the Klein-Gordon equation

    Tumulka, Comment on ``Time-like flows of energy-momentum and particle trajectories for the Klein-Gordon equation''

    G Horton et al, reply to comment on..., 2002 J. Phys. A: Math. Gen. 35 7963-7964

    Tumulka, Response to Horton and Dewdney


    Les auteurs citent à ce sujet Edelen, 1963 NUOVO CIMENTO 30 (1): 292-&, ON FOUNDATIONS OF RELATIVISTIC ENERGY MECHANICS, mais je n'ai pas encore eu la chance de regarder cet article. Je voulais le faire venir, mais je pars pour la suisse mardi prochain...

    Merci encore pour ton aide... Il faudrais vraiment que je suive un cours de calcul tensoriel..

    Simon

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