Bonjour,
Soit le tenseur défini comme suit:
Soit un q-volume infinitésimal délimité par quatre qv du, dv, dw, dy. Je modélise tout ce qui se passe dans ce q-volume comme des trajectoires de particules ponctuelles. Chaque trajectoire intersecte le q-volume selon un segment infinitésimal de trajectoire commençant à un événement (entrée) et finissant à un autre (sortie). Toutes ces notions sont géométriques et indépendantes de tout repère.
Le long d'un segment de trajectoire on peut dans tous les cas définir l'action. Dans le cas d'un photon, c'est le nombre de périodes (multiplié par h) , avec et défini dans un repère quelconque. Ce nombre ne dépend pas du choix du repère. De même pour une particule de masse non nulle, on peut définir comme action dans le repère propre, étant la durée propre du segment de trajectoire, ce qui correspond à p.u dt dans le repère de direction temporelle u.
On peut ainsi définir la quantité totale d'action A dans le q-volume infinitésimal, et le tenseur totalement antisymétrique qui donne A quand appliqué à .
Ce tenseur (une 4-forme, un pseudo scalaire) a pour dimension ML2T-1 T-1L-3, une densité volumo-duréelle d'action, et a une valeur totalement indépendant de tout référentiel (au signe près, lié au choix d'orientation).
Si je choisis un repère de direction temporelle u, une durée infinitésimale dans ce repère est de la forme u dt. est toujours une 4-densité d'action, mais s'interprète alors comme une densité volumique d'énergie, mesurée dans le repère u. Ce tenseur est antisymétrique en , qui correspondent aux indices de volume.
Maintenant, en partant du tenseur masse-énergie, . Dans un repère de qv temps u, uTu est la densité volumique d'énergie dans ce référentiel. On peut l'interpréter comme un tenseur totalement antisymétrique qui à trois qv spatiaux, perpendiculaires à u, associe la quantité d'énergie comprise dans le volume défini par ces trois qv. Soit ce tenseur.
La tentation est grande de considérer l'égalité
,
Est-ce valide? Ca paraît bizarre de faire une égalité entre un terme où u apparaît au carré et un terme linéaire en u... Mais si c'est incorrect, est-ce que le tenseur A ainsi défini à un sens, et quel rapport a-t-il avec T?
Cordialement,
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