Interprétation du tenseur masse-énergie

[invité576543]

Bonjour,

Soit le tenseur défini comme suit:

Soit un q-volume infinitésimal délimité par quatre qv du, dv, dw, dy. Je modélise tout ce qui se passe dans ce q-volume comme des trajectoires de particules ponctuelles. Chaque trajectoire intersecte le q-volume selon un segment infinitésimal de trajectoire commençant à un événement (entrée) et finissant à un autre (sortie). Toutes ces notions sont géométriques et indépendantes de tout repère.

Le long d'un segment de trajectoire on peut dans tous les cas définir l'action. Dans le cas d'un photon, c'est le nombre de périodes (multiplié par h) , avec et défini dans un repère quelconque. Ce nombre ne dépend pas du choix du repère. De même pour une particule de masse non nulle, on peut définir comme action dans le repère propre, étant la durée propre du segment de trajectoire, ce qui correspond à p.u dt dans le repère de direction temporelle u.

On peut ainsi définir la quantité totale d'action A dans le q-volume infinitésimal, et le tenseur totalement antisymétrique qui donne A quand appliqué à .

Ce tenseur (une 4-forme, un pseudo scalaire) a pour dimension ML²T^-1 T^-1L^-3, une densité volumo-duréelle d'action, et a une valeur totalement indépendant de tout référentiel (au signe près, lié au choix d'orientation).

Si je choisis un repère de direction temporelle u, une durée infinitésimale dans ce repère est de la forme u dt. est toujours une 4-densité d'action, mais s'interprète alors comme une densité volumique d'énergie, mesurée dans le repère u. Ce tenseur est antisymétrique en , qui correspondent aux indices de volume.

Maintenant, en partant du tenseur masse-énergie, . Dans un repère de qv temps u, uTu est la densité volumique d'énergie dans ce référentiel. On peut l'interpréter comme un tenseur totalement antisymétrique qui à trois qv spatiaux, perpendiculaires à u, associe la quantité d'énergie comprise dans le volume défini par ces trois qv. Soit ce tenseur.

La tentation est grande de considérer l'égalité
,

Est-ce valide? Ca paraît bizarre de faire une égalité entre un terme où u apparaît au carré et un terme linéaire en u... Mais si c'est incorrect, est-ce que le tenseur A ainsi défini à un sens, et quel rapport a-t-il avec T?

Cordialement,
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[Rincevent]

bonjour

ça me rappelle que je vois regarder de près un truc commençant à être ancien dont on avait discuté

j'ajoute celui-ci sur la liste et répondrai "sous peu"

[invité576543]

Bonjour,

Je continue mes réflexions...

Si est une 4-forme, représentant une 4-densité d'action, et si u est la direction temporelle d'un référentiel, alors un infinitésimal de temps est udt. Un volume infinitésimal dans ce repère peut être défini par un triplet d'infinitésimaux spatiaux dans ce référentiel dx, dy, dz. Mais le "produit vectoriel" de ce tri-q-vecteur est nécessairement colinéaire à u, puisque u est perpendiculaire aux trois directions par hypothèses de spatialité.

La quantité infinitésimale d'action dans le 4-volume (udt, dx, dy, dz) est alors

dA = A' udt udV

en notant


(A' doit être symétrique, car elle ne peut être que symétrique ou antisymétrique, et elle n'est pas antisymétrique, sinon uA'u serait nul... )

uA'u apparaît alors comme la densité temporo-volumique d'action, ou une densité volumique d'énergie, dA = uA'u dt dV, ou dE = dA/dt = uA'u dV

Supposons alors uTu = uA'u.

Comme A est une 4-forme, toutes ses composantes sont 0 ou +/- un scalaire: 1 seul degré de liberté. Même chose pour A', la contraction avec ne créant rien de neuf.

Or T a 6 degrés de liberté, et ne peut pas être assimilé à A'. T contient d'autres informations.

Il doit bien y a voir un rapport entre T et une 4-densité d'action. Est-ce que par exemple A serait la partie totalement antisymétrique de ? Si c'est le cas, peut-on donner une signification physique à la différence?

Est-ce que toutes ces interrogations ont un sens?

(J'essaye en fait de comprendre la signification de T en dehors de toute notion de composante, et une indication comme uTu est une densité volumique d'énergie n'est pas satisfaisante, parce que les notions d'énergie ou de volume sont liées aux composantes. Le fait de parler de densité volumique devrait amener à écrire dE = uTu dV, mais c'est pas beau: j'aimerais voir cela sous la forme , avec dx dy dz trois qv infinitésimaux définissant le volume, et T'(u) antisymétrique en , et dépendant du repère u puisqu'on parle d'énergie...)

Cordialement,

[invité576543]

Bonsoir,

Je reviens sur mon truc. Dans une autre discussion, Rincevent donnes deux références à propos de l'interprétation physique de l'équation d'Einstein.

Les deux donnent l'air (elles ne sont pas si explicites) que la connaissance de uTu en tout point de l'espace-temps (densité de masse-énergie) et pour tous les u de type temps, donnerait la connaissance de T\mu\nu.

Par exemple (la note 2, sans les formules, ...)

l'équation tensorielle d'Einstein est équivalente à imposer l'équation scalaire (où ,est la densité de masse-énergie dans le 3-espace orthogonal à ) pour une famille convenable de directions différentes (de genre temps, ).

Mais ça me posertait un problème, parce que mon A', dérivé d'une densité chrono-volumique d'action, doit coincider uTu=uA'u, et me semble contenir moins d'action.

Evidemment, la métrique et \epsilon interviennent. Mais j'ai du mal à y voir l'information manquante.

Alors, uTu définit-il tout T? Si oui, est-il correct que T et A' sont égaux aux dièses et bémols près et que l'information manquante vient des dièses et bémols? Sinon, quelle est la nature physique de l'information supplémentaire entre T et A'?

Si je rapproche cela de G, l'autre terme de l'équation d'Einstein, l'interprétation de comme la courbure totale 3D de l'espace perpendiculaire à u (l'autre papier cité), ainsi que l'interprétation des tenseurs Riemmann et Ricci en terme de courbure fait toujours référence à des doubles contraction sur un même qv ou mêmes paires de qv. Ca n'aide pas.

Plus intéressante semble être l'approche de Cartan avec la notion de "moment" (j'ai vu ça dans MTW, mais pas compris...): ça semble parler de "rotation" et ça paraît bien parler d'autre chose que de densité volumique ou autre pseudo-scalaire...



Cordialement,

[A voir en vidéo sur Futura]

[Rincevent]

salut,

j'ai pas encore pris le temps de tout lire en détails comme tu as rajouté des épisodes, mais pour la première partie, voici quelques commentaires.

Ton A est en gros la densité lagrangienne et si l'on balance des h ou choisit une échelle de temps, on peut donc bien se ramener à une densité d'énergie. En revanche, le tenseur T s'appelle "énergie-impulsion" car il n'est pas qu'une information sur l'énergie, mais également sur l'impulsion. D'ailleurs, plutôt que de parler de densité d'énergie pour T00, il est mieux de parler de "flux dans la direction temporelle de la composante selon cette direction de la densité de 4-impulsion".

Si tu regardes des trucs de mécanique des milieux continus (je sais pas si tu connais dans le cadre newtonien), la restriction 3D de T est le tenseur des contraintes (et c'est pour ça qu'en anglais on parle souvent de "stress energy momentum tensor"). C'est donc uniquement dans le cas d'une poussière (pas de pression) que la densité d'énergie est la seule information contenue.

[invité576543]

Bonjour,

Ton A est en gros la densité lagrangienne et si l'on balance des h ou choisit une échelle de temps, on peut donc bien se ramener à une densité d'énergie. En revanche, le tenseur T s'appelle "énergie-impulsion" car il n'est pas qu'une information sur l'énergie, mais également sur l'impulsion. D'ailleurs, plutôt que de parler de densité d'énergie pour T00, il est mieux de parler de "flux dans la direction temporelle de la composante selon cette direction de la densité de 4-impulsion".

OK. PLus généralement uTu est le flux d'énergie dans la direction de type temps u.

Si tu regardes des trucs de mécanique des milieux continus (je sais pas si tu connais dans le cadre newtonien), la restriction 3D de T est le tenseur des contraintes (et c'est pour ça qu'en anglais on parle souvent de "stress energy momentum tensor"). C'est donc uniquement dans le cas d'une poussière (pas de pression) que la densité d'énergie est la seule information contenue.

Oui, je vois bien le point. En méca des milieux continus, Tu représente la force exercée sur une face perpendiculaire à u, avec |u| proportionnel à la surface. uTu/|u|² est alors la composante de type pression/tension, et Tu - (uTu)u/|u|² est le stress, force dans le plan de la face. Clairement, uTu ne contient aucune information sur les forces transverses. Je le visualise bien pour un solide, mais alors la notion de changement de repère avec vitesse relative non nulle ne donne pas une image claire. Dans les fluides, les forces transverses me sont moins claires!

Or la question est si on peut calculer les "forces" transverses à u à partir des autres u'Tu', en profitant de la connaissance des uTu pour tous les u (ou au minimum pour les u de type temporel). Je ne vois pas comment, d'où une difficulté de compréhension quand j'interprète des textes (dont les deux cités dans l'autre fil, par un heureux hasard) comme disant que T est donné par les uTu.

Les interprétations physiques de l'équation d'Einstein donne une interprétation des uTu , que j'ai tendance à ramener à la densité d'action (densité du Lagrangien, si je comprend bien), mais pas pour le reste, les parties transverses...

Cordialement,