[Méca] expressions des dérivées des vecteurs unitaires en coord. sphériques

[inviteaeeb6d8b]

Bonjour,

ben je crois que tout est dans le titre

Je voulais savoir comment on dérive (et quelles sont les expressions...) les vecteurs u_r, u_têta et u_phi dans le cadre des coordonnées sphériques...

par exemple, en coord. cylindriques (en projetant) on trouve :

du_r / dt = r. (du_têta / dt) . u_têta

merci beaucoup

Romain (qui a un gros trou de mémoire )
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[invitee5ee16ec]

Tout dépend de la façon dont bougent lesdits vecteurs. Si le référentiel est fixe, du_r/dt=0. Si maintenant les axes tournent, les vecteurs unitaires entrainés ont une dérivée non nulle. Par exemple dans le plan (i,j), pour un référentiel en rotation autour de O, la dérivée du vecteur i est j*d téta/dt et celle de j est -i* d téta/dt. (il suffit pour s'en convaincre de projeter sur des axes fixes et de dériver les projections obtenues). A priori les dérivées cherchées font intervenir dtéta/dt et dphi/dt.

[inviteaeeb6d8b]

Tout dépend de la façon dont bougent lesdits vecteurs. Si le référentiel est fixe, du_r/dt=0. Si maintenant les axes tournent, les vecteurs unitaires entrainés ont une dérivée non nulle. Par exemple dans le plan (i,j), pour un référentiel en rotation autour de O, la dérivée du vecteur i est j*d téta/dt et celle de j est -i* d téta/dt. (il suffit pour s'en convaincre de projeter sur des axes fixes et de dériver les projections obtenues). A priori les dérivées cherchées font intervenir dtéta/dt et dphi/dt.

Ben oui les axes tournent (c'est bien ça le problème ) et donc les dérivées sont non-nulles... et je sais bien qu'elles font intervenir du_têta/dt et du_phi/dt mais j'aimerais savoir comment

merci quand même

Romain

[invitefa5fd80c]

Salut,

Les vecteurs unitaires u_r, u_têta et u_phi étant de direction variable dans l'espace, le plus simple est habituellement d'exprimer ces vecteurs en fonction des vecteurs unitaires u_x, u_y et u_z qui eux sont de direction fixe en tout point de l'espace. La dérivée temporelle devient alors une dérivée de quantités scalaires, ce qui simplifie de beaucoup le processus. Voilà pour le comment (du moins l'un des "comment").
Pour les expressions explicites, je n'en ai malheureusement pas sous la main.

A+

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9c9b9968]

Il suffit de dériver par rapport aux angles et

Ainsi,

Après il suffit de faire comme a dit Popol, en projetant sur des axes fixes ex,ey,ez, et faire donc apparaître ces angles et

Cela nous donne donc, avec le schéma habituel :







(le tout forme bien un trièdre direct).

Tu n'as plus qu'à dériver par rapport aux angles

Pour par exemple (le plus rapide, la flemme ), cela donne :

[inviteaeeb6d8b]

Ben merci beaucoup j'ai plus qu'à me taper l'autre calcul

thanks

Romain

[invite51605009]

j'ai plus qu'à me taper l'autre calcul

On passe tous par là t'inquiète
En fait c'est simple mais un peu long (comme par exemple l'accélération en sphérique, y'a aucune difficulté, mais faut prévoir des feuilles).

C'est souvent bien de l'avoir fait deux ou trois fois pour que ca entre et savoir le refaire à la demande sans hésiter, mais bon après tu ouvres un formulaire

[invite9c9b9968]

Juste pour rire : en fait le calcul le plus "compliqué" est celui que j'ai fait

Juste un petit détail pratique : pour avoir l'expression de la vitesse en sphérique, ce n'est pas nécessaire de connaître l'expression des dérivées que l'on vient de voir, il suffit juste de dériver après avoir projeté sur les axes x,y,z (mais il faut bien sûr connaître les projections sur x,y,z des vecteurs de base sphérique !)