Equation de la chaleur

[invite98b99a54]

Bonsoir

J'aimerais avoir votre aide svp.

Est-ce que l'équation de la chaleur (de la diffusion thermique) est linéaire ? Si non, pourquoi ?
Même question pour l'équation de d'Alembert, est-elle linéaire ?


Merci à vous
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[albanxiii]

Bonjour,

Quel intérêt si on vous répond "oui" ou "non" ?

=> C'est quoi la définition d'une équation linéaire ?

@=

[invite98b99a54]

Merci pour m'avoir répondu.

Justement je ne veux pas simplement une réponse du type "oui" ou "non" mais j'aimerais savoir pourquoi.
Le fait qu'on manipule des dérivées, des laplaciens ... me perturbe et donc la linéarité des équations n'est pas évidente pour moi.

Une équation linéaire est une équation du type y=ax.

Mercie encore

[albanxiii]

Une équation linéaire est une équation du type y=ax.

Oui, mais ça n'est pas ce que je vous demandais, je n'ai pas été assez explicite.

Supposons que l'on ait une équation (différentielle, aux dérivée partielles, algébrique, ou que sais-je...) et qu'on connaisse deux solutions, et .
Est-ce que l'on peut dire que est également solution de la même équation, dans le cas général ?
Et si oui (cela vous donne la réponse à la question précédente...), que peut-on dire de l'équation dont , et sont solutions ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec998f71d]

Une petite remarque/ si dans cette equation on remplace t par it
on obtient l équation de Schrodinger, typiquement linéaire en MQ

[invite98b99a54]

Merci pour vos réponses.
Dans ce cas les deux équations sont linéaires puisque elles comportent que des dérivées, et la dérivée est une application linéaire ? C'est ça ?

[albanxiii]

Re,

non, ça n'est pas ça. Et vous pouvez ignorer le message de Murmure-du-vent qui est hors sujet ici.
Relisez mon message #4 et répondez-y, je ne fais pas ça pour passer le temps, il y a un intérêt pour votre question.

Ou alors prenons un autre exemple. Soit l'équation . On appelle et ses solutions (*). Est-ce que est aussi solution de cette équation ?

@+

(*)

 Cliquez pour afficher

je vous facilite la tâche, est solution évidente, la somme des deux solutions vaut et leur produit vaut . Donc, , .

[invite98b99a54]

Merci pour votre réponse.

La réponse à votre question est évidemment non. x_1+x_2 n'est pas solution. Pas besoin de calculer les valeurs pour lesquelles le polynôme s'annulent puisque la réponse est évidente. En effet, le fait qu'il y ait du x² rend l'équation non linéaire et donc x_1+x_2 ne peut être solution.

Mais pour les équations de la chaleur et de d'Alembert, le fait qu'on manipule des opérateurs (que je maitrise pas totalement) me perturbe et je ne sais pas si c'est opérateurs sont linéaires. Donc svp pouvez-vous m'éclairer un peu plus sur la linéarité de ces équations?

Merci encore

[invitec998f71d]

Ce qu'il faut voir en premier c est qu'une derivation est une operation lineaire
Ensuite que la composition de deux applications lineaires est linéaire
Une derivee seconde l'est donc aussi.
Une somme d'app lineaires est linéaire.
C'est le cas pour l'equation de la chaleur (idem pour schrodinger)