Equation de la chaleur

[mc222]

Bonjour,

Aujourd'hui, j'aimerai résoudre l'équation de la chaleur en unidimentionnel dans le cas bien précis d'un solide semi-infini avec une température fixée à sa limite
La solide est initialement et uniformément à
La surface (x=0) est constament à

Si on résout l'équation de la chaleur en unidiementionnel par séparation des variables, on trouve comme solution particulière :



étant la variable de séparation, elle est arbitraire, on peut donc définir un élément de solution à un lambda donné :



Soit:



La solution complète est donc la somme de ces éléments de solution pour toutes valeur de lambda, sachant que chaque élément de solution est pondéré des facteurs et, qui assure la condition initiale.

Soit :



Avec et qui modulent l'influence de chaqun des élément de solution et qui sont réspectivement les transformées en sinus et cosinus de

Voila, j'ai de gros doutes sur la suite des évènements, comment fait-on ensuite ?

Merci d'avance,

A+
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[mc222]

Il faut faire une transformée de fourier de sinus, nan ?

[invite1228b4d5]

Salut,

je ne comprend pas bien les conditions initiales :
quel est la température à t<0 de la surface x=0 ?
car en fait, si à t<0 et que brusquement pour t=0, , les solutions ne peuvent pas se trouver avec la méthode des variables séparables. Il faut faire un changement de variable dans l'équation de la chaleur. SI je me souviens bien, il faut faire le changement ou quelque chose dans ce goût là

[mc222]

La température à t<0 de la surface (x=0) est Ts, constante dans le temps.

Mais d'où sort ce changement de variable ? Il est bien le résultat d'un calcul ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1228b4d5]

Je ne sais pas trop d'où sort ce changement de variable ^^, juste qu'il marche pour des cas discontinue comme celui que je t'ai donné. Si je me souviens bien c'est pour des "chocs thermique" et on obtiens une solution appelé "fonction de Dirac"

On peux peut être le lier à une étude dimensionnel de l'équation de la chaleur, on s’aperçoit que la longueur caractéristique est proportionnel à l'inverse de la racine carré du temps caractéristique.

[invite1228b4d5]

Sinon, pour la transformé de fourier, je pense qu'il est plus simple de passer par les complexes
Ainsi, pour une valeur fixé, on a une solution de la forme :


en faisant la superposition :




ainsi, en se plaçant à t=0, on obtient


ainsi, est la transformée de Fourier de et en inversant on obtient :



Et tu injecte tout ça dans la T(x,t) et tu as la solution

[mc222]

Comment peut-on passer par les compexes ?

?

Ca voudrait dire que et donc qu'il s'agit d'un imaginaire pur, ce qu'est n'est pas vrai à en croire mon expression de départ.

Mes deux coefficients et sont réels

[mc222]

ainsi, en se plaçant à t=0, on obtient


ainsi, est la transformée de Fourier de et en inversant on obtient :

Ce serai vrai si il y avais un - dans l'exponentielle, nan?

[invite1228b4d5]

Mon est complexe, il s'agit de l'amplitude complexe.
Les conditions limites vont fixer les constantes alpha et bêta (donc mon A)

Pour l'inversion de Fourier : qu'il y ai un moins ou non ne change pas grand chose il suffit de faire le changement de variable

[mc222]

ok, mais, on ne peut pas passer de :

à

Puisque :



Donc il y a quelque chose qui cloche dans on passe en notation complexe !

Pourtant, la contribution des termes en sinus est la pour l'imparité de la fonction et la contribution des termes en cosinus est la pour la parité, de sorte qu'avec les deux, on puisse reproduire toutes les fonctions, donc l'intégrale de Fourier l'écrit bien :



Avec des fréquences strictement positives

Alors comment peut-on ramener cela à ?

Avec des fréquences négatives, qui plus est^^

[invite1228b4d5]

j'ai peut être été un peu vite.

En fait, les solutions sont de la forme :

Pour lambda positif.
donc, on fait la somme de tout ça pour lambda positif.
On sépare en deux, plus un changement de variable et on obtient un intégrale sur R tout entier en redéfinissant la fonction A(lambda)

Les fréquences négatives ne sont que pratique ici

[mc222]

hoho! Pas bête l'astuce, en étendant le domaine d'intégration de moins l'infini à plus l'infini, c'est à dire sur R, on tient compte des deux solutions, très bien vu !!

[mc222]

Voila donc où on en est :



Mais les facteurs pré-exponentiels sont différents donc comment faire ?

on ne peut pas juste dire ça :


Sinon, le B se simplifie, donc comment manipuler cela pour qu'il ne reste qu'une seule exponentielle ?

En tout cas, merci d'avoir répondu jusque là

[mc222]

Ah, je crois que j'ai compris où est la difficulté, elle réside dans l'expression des A et B, puisque pour le deuxième terme de l'intégrale, (celui en -lambda) on fait un changement de variable qui change les bornes et le -lambda en +lambda, mais il doit également influencer les A(lambda) et B(lambda), nan?

[invite1228b4d5]

Je ne comprend pas pourquoi tu veux repasser par les cos et sin ... l'utilisation de la notation complexe te donne directement la solution et en les calculant, tu retombe normalement sur des résultats réels.

[mc222]

je ne cherche pas à repasser par la notation cos et sin, l'intégrale de Fourier est définit fondamentalement avec des cos et des sin, je cherche à trouver comment on peut passer d'une notation à l'autre et voir ce que représente les parties réelles et imaginaires de la transformée de Fourier relativement aux coefficients des cos et sin.