Equation de la chaleur 1D

[Koranten]

Bonjour à tous,

J'essaie de résoudre l'équation de la chaleur en 1D instationnaire avec convection.

En fait, on retombe sur l'équation de l'ailette :

kSd²T/dx²=hP(T-Text)

Avec k la conductivité du matériau de la barre 1D, S la section, h le coefficient de convection et Text=90 la température extérieure.

Je trouve :

T(x)=A*exp(ax)+B*exp(-ax)+Text

Avec a = (hP/kS)^0.5

Jusque là tout va bien. Ensuite je détermine A et B en fonction des conditions initiales, et là...

Lorsque je veux poser T(0)=160 par exemple et dT(0)/dx=0 (barre isolé au début), ça déconne : la température démarre bien à 160 mais elle... augmente! Sachant que le milieu est à Text=90, soit un milieu plus froid que la température imposée au début, ça devrait refroidir. Et pourtant ça augmente. Je comprends pas.

Du coup j'ai dégainé Matlab pour voir et... ça fait la même chose.

Je comprends pas. Est-ce à dire que je peux pas imposer la température et sa dérivée au même point?

Je pense pas, parce que dans une équa diff d'ordre 2 comme la trajectoire d'un point par exemple, on peut très bien spécifier position et vitesse (fonction et dérivée, donc) au même point. Bon, certes, c'est pas la même équation...

Parce que quand j'impose les températures aux deux extrémités, ou la température d'un côté et la dérivée de l'autre, ça se comporte bien. Il y a quelque chose que je capte pas.

Par exemple, j'ai a=5. J'obtiens A=B=35. Quand je trace ma fonction, je démarre bien de 160 avec une pente nulle, mais ça augmente. J'ai une courbure positive.

Où est-ce que je me plante?

Je vois bien pourquoi ça explose : le terme en exp(+x) devient prépondérant, je devrais donc trouver un terme B beaucoup plus faible...

Mais j'ai A=B car je regarde la dérivée en 0. Si je la regarde un poil plus loin, le terme B va être plus faible grâce à l'expo en -x...

Merci!
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[Jeanpaul]

Moi je voyais un terme en dT/dt en instationnaire.

[Koranten]

Oula oui, désolé, je voulais dire STATIONNAIRE. En régime permanent. Mon clavier a fourché ^^

[Jeanpaul]

Je ne vois pas le schéma clairement : c'est une barre à température homogène mise brutalement en contact avec le milieu extérieur et la chaleur qui s'en va par les côtés ? T, c'est quoi exactement ? C'est T(x) ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[FC05]

Essaye avec A = 0 ... ça fonctionne mieux et ça a le bon goût d'avoir du sens physique.

[Koranten]

T(x), c'est la température de la barre en fonction de x.

Il n'y a pas d'imposition "brutale" de température, c'est du stationnaire.

Je veux simplement imposer T(0)=160° et aussi dT(0)/dx=0.

En gros, je veux imposer la température d'un côté et en même temps isoler thermiquement ce côté.

Physiquement, je vois pas pourquoi ça passe pas.

C'est sûr qu'en mettant A=0, la solution n'explose plus. Mais du coup, il m'est impossible d'avoir dT(0)/dx=0.

J'en reviens donc au même point, il semble impossible d'imposer à la fois la température ainsi qu'un flux nul (isolation thermique, dérivée nulle) au même point.

Mais je comprends pas pourquoi

[FC05]

...

En gros, je veux imposer la température d'un côté et en même temps isoler thermiquement ce côté.

Physiquement, je vois pas pourquoi ça passe pas.

C'est sûr qu'en mettant A=0, la solution n'explose plus. Mais du coup, il m'est impossible d'avoir dT(0)/dx=0.

J'en reviens donc au même point, il semble impossible d'imposer à la fois la température ainsi qu'un flux nul (isolation thermique, dérivée nulle) au même point.

Mais je comprends pas pourquoi

Il n'y aurait pas une relation entre chaleur et température ?

Si tu es en stationnaire, de la chaleur part vers le côté froid, il faut donc bien apporter cette chaleur par le côté chaud qui est une source parfaite de chaleur (donne de la chaleur sans changer de température).

C'est bien les équations, mais un peu de physique de temps en temps, ça fait pas de mal.

[Koranten]

Ok, merci. Donc en gros j'essayais d'imposer un cas non physique...