Bonjour,
J'aimerais savoir si la réponse que je donne à un problème est correcte.
Voici l'énoncé:
Soit une sphère creuse de rayon intérieur R1 et de rayon extérieur R2. Si T1 et T2 sont les températures correspondant respectivement aux rayons R1 et R2, exprimez en régime stationnaire, la température T à la distance r du centre de la sphère. Calculez le flux de chaleur à travers la paroi de la sphère. Remarque: Pensez à exploiter dès le départ que le champ de température T(x,y,z) est du type radial, soit T(r).
Voici mon raisonnement:
Je pars de l'équation de chaleur dT/dt=D (d²T/dx² + d²T/dy² + d²T/dz²)
Comme nous sommes en régime stationnaire, dT/dt = 0
je cherche donc à résoudre le laplacien de T(x,y,z).
Pour cela je passe en coordonnée cylindrique et j'obtiens:
(d²T/dx² + d²T/dy² + d²T/dz²) = 1/r d/dr (r dT(r)/dr)
ce qui nous donne par une premiere integration: a=r dT/dr
et par une deuxieme integration:
A ln|r| + B = T(r)
Ensuite je cherche A et B grâce aux conditions initiales.
et je trouve finalement:
T(r) = T1 + ln(r/R1) (T1-T2) / ( ln(R1/R2) )
et pour le flux de chaleur:
Q'=S J = S µ dT/dr = 2 PI L µ R r dT/dr = 2 PI L µ r dT/dr
D'avance merci,
denje.
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