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Méthode de Crank-Nicholson et Equation de la chaleur



  1. #1
    ketchupi

    Méthode de Crank-Nicholson et Equation de la chaleur


    ------

    Bonjour à tous,
    je ne savais pas où poster ce problème, car au final c'est un problème plus numérique que mathématique. Mais je me lance, le sujet sera déplacé le cas échéant (dans le doute, je poste également dans le topic Physique).

    J'utilise pour résoudre l'équation de la chaleur la méthode de Crank-Nicholson, qui est dite inconditionnellement stable, car son terme d'amplication est toujours plus petit que 1, de ce fait, puisque c'est une méthode récursive, il y a toujours convergence. Cette méthode est basée sur la discrétisation de mon domaine d'étude spatio-temporelle, et j'ai donc à choisir un pas de temps et un pas d'espace pour discrétiser mon problème et linéairiser mon équation de la chaleur.

    Mon problème se présente de la façon suivante : J'ai un vecteur Température à l'instant t, et je souhaite calculer l'évolution de ce vecteur à travers le temps ; pour faire simple, supposons que je souhaite calculer la température au pas de temps suivant t+1. La méthode de Crank-Nicholson me permet d'écrire :


    où A et B sont des matrices tridiagonales, inversibles, et dépendent des pas de temps et d'espace choisis .
    Or le problème que je me pose, c'est que ces deux pas influencent fortement les valeurs du vecteur . Par exemple, je choisis un de 40 nm, j'obtiens une température max de 1200 K. Alors que dans les mêmes conditions initiales, avec 70 nm, je passe à 5500 K !!!

    Pour les numériciens (et pour les autres), est-ce que cet écart est normal ? D'où peut-il provenir ? Est-ce une erreur qui découle de l'interprétation physique du problème, ou bien du traitement mathématique ?

    Je vous remercie.

    -----

  2. #2
    Coincoin

    Re : Méthode de Crank-Nicholson et Equation de la chaleur

    Salut,
    Essaye de voir comment ça varie avec le pas : si c'est linéaire, c'est que tu t'es planté dans une normalisation ; si y a un plateau pour des pas suffisamment petits, c'est que la discrétisation est trop grossière.
    Tu ne peux pas physiquement évaluer une échelle physique caractéristique pour te guider dans le choix des pas ?
    Encore une victoire de Canard !

  3. #3
    ketchupi

    Re : Méthode de Crank-Nicholson et Equation de la chaleur

    Justement Si ! Mon terme source dans l'équation de la chaleur est une impulsion laser, et la pénétration de l'onde laser dans le matériau choisi est environ 30 nm. Donc, je choisis un pas d'espace 10 à 50 fois plus faibles. En fait, je m'attendais à une convergence faible quand on fait varier , mais de là à passer de 1200 à 5000 K, c'est fort quand même !

    Je vais regarder pour la variation en fonction du pas d'espace !

    Merci coincoin, je te tiens au courant (et les autres aussi, vous n'y couperez pas !)

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