Équation de la chaleur

[invite72aee597]

Bonjour,

J'ai un problème sur la résolution de l'équation de la chaleur. J'ai une source de chaleur dans un bloc de roche, et je voulais résoudre l'équation de la chaleur pour savoir la température en tout point de la roche : ∂T/∂t = κ/ρc ∇^2T

(Je me retrouve à résoudre cette équation, et je n'ai jamais vu les bases sur l'équation de la chaleur)

Je ne sais pas comment commencer: utiliser les coordonnées sphériques ou bien rester en cartésien à 1D ( on observe le même phénomène suivant les 3D => étude a 1D)

Toute aide sera la bienvenue. Merci d'avance
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[arrial]

je n'ai jamais vu les bases sur l'équation de la chaleur

Voici une approche progressive du sujet : http://promenadesmaths.free.fr/Equat...20physique.htm

Je ne sais pas comment commencer: utiliser les coordonnées sphériques ou bien rester en cartésien à 1D ( on observe le même phénomène suivant les 3D => étude a 1D)

Ça ne se choisit pas au hasard …
♦ symétrie sphérique ↔ coordonnées sphériques
♦ symétrie cylindrique ↔ … etc …



@+

[invite72aee597]

Merci de ta réponse. Je sais bien que ça ne se choisit pas au hasard. Mais vu que c'est le même matériaux (roche) qui entoure ma source de chaleur, dans les 3 dimensions de l'espace, je pensais donc faire l'étude à une seule dimension ( je pense que ça revient à faire en coordonnées sphériques, et dire que la température ne dépend que de ρ (indépendant de "téta" et "phi")

Je fais ça pour étudier l'évolution de la température de ma source de chaleur. Mon prof m'a conseiller de regarder l'évolution de la température dans la roche en admettant que la température de la source est constante. Puis d'en déduire dans un second temps l'évolution de température de la source. Vous avez peut-etre une autre idée pour étudier l'évolution de cette température?

[arrial]

vu que c'est le même matériaux (roche) qui entoure ma source de chaleur, dans les 3 dimensions de l'espace, je pensais donc faire l'étude à une seule dimension ( je pense que ça revient à faire en coordonnées sphériques, et dire que la température ne dépend que de ρ (indépendant de "téta" et "phi")

C'est valable pour un milieu infini ‼ Ton milieu est infini ? il n'y a pas de conditions limites ?? autant faire alors l'étude en mono-dimensionnel ‼
Tu as lu la source jointe ? ça devrait te suffire, je pense …

@+

[A voir en vidéo sur Futura]

[vaincent]

Merci de ta réponse. Je sais bien que ça ne se choisit pas au hasard. Mais vu que c'est le même matériaux (roche) qui entoure ma source de chaleur, dans les 3 dimensions de l'espace, je pensais donc faire l'étude à une seule dimension ( je pense que ça revient à faire en coordonnées sphériques, et dire que la température ne dépend que de ρ (indépendant de "téta" et "phi")

Je fais ça pour étudier l'évolution de la température de ma source de chaleur. Mon prof m'a conseiller de regarder l'évolution de la température dans la roche en admettant que la température de la source est constante. Puis d'en déduire dans un second temps l'évolution de température de la source. Vous avez peut-etre une autre idée pour étudier l'évolution de cette température?

Bonjour,

en effet le problème est à symétrie sphérique. On peut montrer que cela se réduit à un problème à une dimension en opérant un changement de variable. En coordonnées sphérique, et après avoir supprimé les dérivées selon phi et theta, le laplacien se réduit à :



L'équation devient donc :



En effectuant le changement de variable , on obtient :



Attention, ce n'est pas si simple que ça à montrer(dérivée successives), il faut donc le faire soi-même !

Voilà donc ton équation de départ. Après il faut réfléchir sur le fait que si la source est constante, qu'est-ce-que cela implique pour l'équation, etc...
Mais on peut aussi essayer de la résoudre directement... j'ai trouvé ça

[invite72aee597]

Merci beaucoup pour votre aide, je vais regarder tout ça demain matin. Encore merci. Je repasse si je rencontre des problèmes

Bonne soirée