Mecanique : accéleration descélération d'un train.

[invite37951268]

On réalise un projet informatique traittant de l'ordonnancement des trains sur un réseau. Pour cela on réalise un simulateur qui a pour objectif de modéliser les déplacements des trains. Afin d'obtenir des résultats assez réalistes, on attribut une force de traction et une force de descéleration. Cela nous permet suivant le poids du train, et suivant la pente de calculer l'accélération et la descélération. J'ai arrêté la physique en term et mes connaissances et surtout mes souvenirs sont insuffisants pour ce problème.

On considère que les frottements du train sur les rails sont nuls et que l'accélération et la descéleration sont constantes. On prend g = 9.81N
On connait :
- la masse du train : m
- sa force d'accélération : a
- sa force de descélération : b
- la distance du tronçon : d
- la vitesse initiale du train : Vi
- la vitesse de sortie du train : Vf

On souhaite trouver la vitesse maximale que peut atteindre le train sur la portion de voie en respectant la contrainte de la vitesse de sortie.Pour obtenir cette vitesse il est peut être plus simple de trouver soit l'instant t1, soit la distance d1 où le train s'arrête d'accélérer.



Toute aide est la bien venue. Merci d'avance.
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[chaverondier]

On connaît :
- l'accélération : a
- la décélération : b
- la longueur du tronçon : d
- la vitesse initiale du train : Vi
- la vitesse finale du train : Vf

On souhaite trouver la vitesse maximale que peut atteindre le train sur la portion de voie en respectant la contrainte de la vitesse de sortie. Pour obtenir cette vitesse il est peut être plus simple de trouver l'instant t1 où le train atteint sa vitesse maximale.

Au moment t1 où la vitesse maximale VM est atteinte, la distance parcourue vaut d1 et on a
vM = vi+at1 et d1 = vit1 + at1^2/2

Au moment tf = t1+t2 où la distance d est atteinte
vf = vM-bt2 donc vM = vf+bt2 = vi+at1 (1) et
d = d1 + (vM +vf)t2/2, donc
d = vi t1 + at1^2/2 + (2 vf+bt2)/2
d = vi t1+ vf t2 + at1^2/2 +bt2^2/2

or (1) donne t2 = (at1+vi-vf)/b d'où en remplaçant t2 par sa valeur

d = t1^2 (a/2+(b/2)(a/b)^2) + t1 (vi+vf(a/b)+(b/2)(2a(vi-vf))/b^2) + (b/2)(vi-vf)^2/b^2

d = (1/2) at1^2 (1+a/b) + t1(vi+avf/b+a(vi-vf)/b) + (vi-vf)^2/(2b)

2d = at1^2 (1+a/b) + 2 vi t1(1+a/b) + (vi-vf)^2/b

En posant delta = vi^2(1+a/b)^2 - (1+a/b)(a/b)[(vi-vf)^2 - 2bd]
L'instant intermédiaire t1 où la vitesse est maximale vaut (sauf erreur):
t1 = [-vi (1+a/b) + delta^(1/2)]/[a(1+a/b)] et on a VM = vi+at1

BC

[invite37951268]

Merci pour cette réponse.
On m'a proposé une autres solution qui se base sur la vitesse moyenne :
soit t2 le temps d'accélération.
soit t1 le temps de descélération.
Vi, la vitesse initiale
Vf, la vitesse finale
Vmax la vitesse maximum (ce que je cherche).
La vitesse moyenne du trajet peut s'exprimer de la manière suivante :
Vmoy = t1 * VmoyAcc + t2 * VmoyDesc

VmoyAcc=(Vmax+Vi)/2
VmoyDesc=(Vf+Vmax)/2

t1 = (Vmax-Ci)/a
t2 = (Vf-Vmax)/b
Donc on obtient
d = (v1+vi)/2 * (v1-vi)/a + (vf+v1)/2 * (vf-v1)/b
d = (Vmax²-Vi²)/(2a)+(Vf²-Vmax²)/(2b)

d =((Vmax²-Vi²)2b+(Vf²-Vi²)2a)/(4ab)
Vmax²=(bVi²-aVf²+2abd)/(b-a)