Mécanique (point): accélération

[invitec13ffb79]

Bonjour,

Dans un exercice, je bloque sur quelques questions, dont une tout particulièrement. Je me permets de reporter l'énoncé, afin que vous puissiez éventuellement m'aider à la résoudre.

En considérant un repère fixe , un point a une vitesse , et on a également: .
On suppose aussi:
et sont constants


,
et ( étant le point à )

Ma question est donc la suivante:

Comment puis-je donner l'accélération en coordonnées cartésiennes?

Je suppose qu'il faut utiliser l'expression , je sais faire un produit vectoriel, mais je ne vois pas quelles coordonnées attribuer au vecteur vitesse. En effet, on a des détails sur lui qu'à un point particulier, à savoir à ..

Qu'en pensez-vous?
D'avance, merci à vous.
-----

[invite19431173]

Salut !

Pas sur de ma réponse, mais on ne serait pas obligé de résoudre une équation différentielle là ?

[pephy]

bonjour,
il faut projeter la relation fondamentale de la dynamique sur les 3 axes;les composantes de la vitesse sont celles d'un instant t: (dx/dt, dy/dt, dz/dt)
on obtient effectivement un système d'équations différentielles, mais qui s'intègre facilement

[invitec13ffb79]

Bonjour!

Salut !

Pas sur de ma réponse, mais on ne serait pas obligé de résoudre une équation différentielle là ?

Justement, il s'agit de la seconde question:

Déduire les équations différentielles du mouvement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec13ffb79]

bonjour,
il faut projeter la relation fondamentale de la dynamique sur les 3 axes;les composantes de la vitesse sont celles d'un instant t: (dx/dt, dy/dt, dz/dt)
on obtient effectivement un système d'équations différentielles, mais qui s'intègre facilement

Bonjour ,

Pourrais-tu un peu préciser ce que tu dis stp? Car ce que tu avances ne m'aide pas trop pour résoudre la première question.. En tout cas, si c'est le cas, je n'ai pas trop suivi..

[GrisBleu]

Salut

je suppose que ce qu il voulait te dire est que
- tu exprimes a=(ax,ay,az) en fonction de v=(vx,vy,vz).
- ensuite, tu exprimes tout en fonction de x,y et z (ainsi que leur derivees temporelles). Tu as alors un systemes d equations differentielles que tu resous
@+

[invitec13ffb79]

Bonjour wlad_von_tokyo

Je supposais qu'il fallait, pour la première question, écrire ceci:

..

Je me trompe?

- tu exprimes a=(ax,ay,az) en fonction de v=(vx,vy,vz).

C'est justement ça que je cherche à faire...

P.S: désolé pour le lateX, je ne sais pas comment sortir ces "br"..

[invite19431173]

Latex modifié ! Il ne faut pas retourner à la ligne !

[invitec13ffb79]

Latex modifié ! Il ne faut pas retourner à la ligne !

Merci benjy_star! Bon à savoir!

Malgré ce petit contretemps, mes interrogations restent toujours d'actualité..

[invite19431173]

Bon je tente le latex !

..[/QUOTE]Donc voilà, tu n'as plus qu'à faire le produit vectoriel, et c'est un système d'équa diff (simple) à résoudre.

[invitec13ffb79]

Ok!

Mais alors du coup, que répondre à la première question, qui je le rappelle, est:

Donner l'accélération en coordonnées cartésiennes

(il n'est pas encore ici question d'équadiffs)

C'est la deuxième question qui demande de déduire de la première les équadiffs du mouvement.

[pephy]

si les équa diff c'est la question suivante alors il faut seulement donner les composantes:

[invitec13ffb79]

Quel est l'intérêt?

[invite19431173]

L'intérêt d'avoir les composantes du vecteur accélération ??? Ben ça permet de connaître l'accélération, c'est déjà bien, non ?

[invitec13ffb79]

Mais si je ne réponds que:



à la première question, ça me semble un peu..."léger" ne croyez-vous pas? Est-ce réellement ce qui est attendu?

[invite5e5dd00d]

Ca pose le cadre

[invite19431173]

Si tu résous l'équation différentielles, tu trouveras les composantes de la vitesse. En dérivant, tu auras les composantes de l'accélération. Tu as mal lu le message de pephy, il te donnait pas la réponse, juste comment la trouver!

[invitec13ffb79]

Ok!
Je vais essayer de faire tout cela, et je reviendrai poster ce que j'ai trouvé! Merci encore.

[invitec13ffb79]

Bonsoir,

J'ai tout de même quelques difficultés je crois...

Le système d'équadiff à résoudre que j'ai trouvé est le suivant:





Qu'en pensez-vous?

[invitec13ffb79]

De plus, vous disiez qu'à partir de là, il était assez aisé de retrouver les équations horaires , et , mais je ne trouve pas...

[invite5e5dd00d]

Tu as les formes de E et de B ?

[invitec13ffb79]

Concernant B et E, je connais uniquement ceci:

et sont constants


,

[invite5e5dd00d]

Parfait. Tu dérives la première équation. Tu exprimes alors y point point en fonction de x point point point, et tu réinjectes ça dans la seconde equation. Ca te donnera une équation linéaire du second ordre en x point, que tu peux résoudres facilement.

[invitec13ffb79]

Voici ce que j'ai voulu faire:

A l'aide de la 2ième équadiff, j'ai déjà déterminé:



J'ai alors reporté l'expression dans l'équadiff (1), ce qui nous amène à:



Je serais donc censé pouvoir déterminer l'équation horaire de x avec ceci... mais j'avoue que je n'y parviens pas avec les conditions initiales...

[invite5e5dd00d]

Ok très bien.
Tu sais résoudre une équation différentielle de ce type ? Si oui, tu as du voir que tu vas tomber sur une infinité de solution, et que tu vas effectivement déterminer l'unique à partir des conditions initiales.
Quelle est la solution générale de cette équation différentielle alors ? Quelle est la condition initiale à respecter ? Dis moi tout ça, et je t'aiderai (flemme de résoudre l'équa diff ). Mais à mon avis grace à ces indics tu y arriveras tout seul.

[yahou]

Le mouvement suivant z est découplé et uniformément accéléré (ça j'imagine que t'avais deviné).

Pour x et y, ça peut se faire avec des techniques générales : écriture sous forme matricielle, diagonalisation de la matrice 2x2... Il y a surement moyen d'y arriver aussi comme tu as commencé, mais comme sigmar j'ai un peu la flemme de faire le calcul.
En plus ici il y a une astuce qui consiste à passer aux complexes. Tu introduis , et tes deux équations sur x et y deviennent une seule équation (très simple) sur u, que je te laisse établir.

[invitec13ffb79]

Bonsoir!

Je n'ai pas pu répondre avant, j'ai eu cours toute la journée..

yahou, je vais plutôt rester sur ma méthode, je n'ai pas encore vu toutes les notions dont tu parles... mais merci quand même!

Sigmar, je reprends donc mon équadiff:



J'ai trouvé comme solution:



Concernant les conditions initiales, j'ai à , d'après ce que j'ai écrit dans les messages précédents.

On obtient alors:



Par contre, pour déterminer , je ne vois pas trop comment faire...une idée?

[yahou]

En fait je te proposais pas de le faire avec des matrices, c'était juste pour dire que c'était la méthode générale. Avec les complexes, c'est une technique différente, et je te promets que c'est beaucoup plus simple (qu'avec les matrices, et qu'avec ta méthode). D'ailleurs c'est une astuce classique que j'ai vue en premier cycle.

Avec ton sytème devient , c'est-à-dire ce qui se fait de plus simple en équation différentielle. Pour récupérer les vitesses tu n'as plus qu'à prendre la partie réelle (pour ) et la partie imaginaire (pour ) de

[invitec13ffb79]

Je veux bien te croire que la méthode est plus simple, je n'en doute pas, mais pour le moment, on me demande encore de faire d'une certaine façon, à savoir celle que j'ai commencée... Que penses-tu de ce que j'ai écrit dans mon post précédent?

[yahou]

Ok comme tu veux.

Alors déjà je viens de me rendre compte que depuis le début on a oublié de mettre la masse devant l'accélération.

Ensuite ta condition initiale du message #1 s'est transformée en au message #27. Alors c'est quoi finalement ?

Sinon pour la forme générale c'est ça.