Bonjour à tous,
Je suis actuellement étudiant en dernière année d’école d’ingénieur et au cours de mon stage de fin d’étude j’ai un projet de recherche à réalisé sur lequel je nécessiterai un peu d’aide de votre part. En effet, je n’ai pas fait de cours de thermodynamique depuis la classe préparatoire, excepté quelques heures de cours très peu poussé en école d’ingénieur. Je souhaite, au cours de ce projet, trouver l’expression du champs de température dans un liquide situé à l’intérieure d’une couverture thermique. Mon modèle est le suivant mon produit liquide est à l’intérieur d’une couverture thermique formant un cube (il y a donc de la couverture thermique tout autour du produit). Ce cube de couverture thermique est constitué de n couches (A1, A2, ..., An) de conductivité thermique (k1, k2, ..., kn) et d’épaisseur (e1, e2, ..., en). Le milieu extérieur a une température constante au cours de l’expérience égale à T0 (condition aux limites), et l’ensemble couverture thermique + produit liquide à une température égale Ti à t=0 pour tout x (condition initiale).
L’équation de la chaleur est la suivante :
dT/dt = K*d²T/dx² avec K = k/(rho*cp)
Je traite d'abord le problème sur une couche d'une des 6 parois de la couverture. Cette couche est d'épaisseur ei et je prend un repère local dans lequel l'abscisse x est égale à 0 sur l'extrémité de la couche la plus proche de l'extérieur (schéma en pièce jointe). Sur cette couche la condition aux limites est la suivante : pour tout t>0, T(0,t) = h(t) qui est la valeur de la température trouver dans l'extrémité de la couche précédente. Pour la couche A1, cette condition aux limites devient : pour tout t>0, -k1*dT/dx=h*(T(x=0,t)-T0) en (0,t). La condition initiale est T(x, 0)=Ti.
Je pose u(x,t)=T(x,t)-h(t) alors, l'équation de la chaleur devient : du/dt=K*d²u/dx², la condition aux limites devient : pour tout t>0, u(0, t)=0 et la condition initiale devient u(x, 0) = T(x,0)-h(0) = Ti-Ti = 0. Je cherche une solution sous la forme u(x,t)= f(t)*g(x).
Je trouve alors : il existe (w, B1, B2) appartenant à R+xR², tel que u(x,t)= exp(-K*w²*t)*(B1*cos(w*x)+B2*sin(w* x)).
La condition au limite me donne : B1 = 0.
Donc u(x,t)=exp(-K*w²*t)*B2*sin(w*x). La condition initiale appliquée en x=ei me donne w=(n*Pi)/ei tel que n appartient à N. Il y a donc une infinité de solution un(x,t) = exp[-k*((n*Pi)/ei)²*t]*B2n*sin(((n*Pi)/ei)*x). La solution sera donc la somme de la série qui a pour terme général un. Mon problème est le suivant : si j'applique ma condition initiale en un autre point que x=ei où le sinus n'est pas nul j'obtient que B2 = 0 et donc que u est la fonction nul et donc que T(x,t) = h(t) pour tout x et pour tout t et donc que la température ne dépend pas de x ce qui n'est pas possible physiquement. Je pense que je cherche la solution sous une mauvaise forme, la forme f(t)*g(x) ne semble pas adapter à mon problème. Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ?
Bonne soirée.
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