Double puits quantique infini

[invitefee2e751]

Bonjour

Je ne comprends pas ce qui semble être à la base du modèle du double puits quantique infini (appliqué à la molécule d'ammoniac par exemple)
Je comprends l'existence d'un fonction d'onde phi_g(x) décrivant le puits de gauche et phi_d(x) décrivant celui de droite. Ensuite par linéarité de l'équation de Schrodinger on cherche une fonction phi(x) telle que phi(x)=A*phi_g(x) + B*phi_d(x) avec A²+B²=1 par normalisation
Et là il est écrit dans le cours dont je dispose que la symétrie du potentiel conduit à considérer des fonctions d’onde stationnaires de parité déterminée (symétrique S et antisymétrique AS) donc on prend phi_S(x)=1/sqrt(2)(phi_g(x)+phi_d(x)) ou phi_AS(x)=1/sqrt(2)(phi_g(x)-phi_d(x))

Mais déjà je ne saisis pas l'argument de la parité du potentiel, qu'est ce qui nous oblige à avoir des solution de parité déterminée ?
Et ensuite, je dois passer à côté d'un truc évident mais en quoi phi_S et phi_AS sont-elles de parité déterminée sachant qu'il ne me semble pas qu'on connaisse la parité de phi_g et phi_d

Merci beaucoup pour vos éclaircissements !
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[albanxiii]

Bonjour,

Rien n'oblige à prendre des fonctions d'onde stationnaires de parité déterminée. On le fait si cela simplifie les calculs, en fonction des phénomènes que l'on veut étudier. Dit autrement, c'est juste un changement de base de l'espace des états.

[coussin]

Si le potentiel est pair, les fonctions d'onde doivent être paires ou impaires quand même. Non ?

[invite6dffde4c]

Bonjour.
Analogue mécanique :
Deux cordes de guitare avec un couplage. Les deux peuvent osciller en phase ou en opposition de phase. (symétrique, antisymétrique).

(Mais je dois avouer que je ne vois pas de couplage possible avec deux puits infinis. Pas d’effet tunnel entre les deux.)
Au revoir.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitefee2e751]

Oui en y réfléchissant je peux concevoir l'idée que les fonctions d'onde doivent être paires ou impaires. Cependant je ne vois vraiment pas en quoi choisir A=B ou A=-B assure que phi est paire ou impaire

[0577]

Bonjour,

quelques généralités: avoir un système quantique avec un groupe G de symétries signifie qu'on a une représentation unitaire de G sur l'espace de Hilbert des états et que cette représentation commute avec l'hamiltonien du système. Dans ce cas, les espaces propres du hamiltonien sont des représentations de G.

Pour une particule 1d dans un potentiel pair, on peut considérer G le groupe cyclique à deux éléments engendré par \psi(x) ->\psi(-x). Ce groupe n'a que deux représentations irréductibles, chacune de dimension un: la représentation triviale et la représentation non-triviale où le générateur agit par un signe. Une fonction dans la représentation triviale est exactement une fonction paire et une fonction dans la représentation non-triviale est exactement une fonction impaire. Un espace propre du hamiltonien est donc naturellement la somme directe d'un espace constitué de fonctions paires et d'un espace constitué de fonctions impaires. En particulier, pour une valeur propre non-dégénérée, i.e. d'espace propre associé de dimension un, alors le vecteur propre est nécessairement une fonction paire ou impaire.

Pour le potentiel pair défini par deux puits infini, toutes les valeurs propres sont dégénérées, avec des espaces propres de dimension deux obtenus en prenant des combinaisons linéaires d'un état propre d'un puits avec l'état propre correspondant de l'autre puits. Dans chacun de ces espaces propres, on peut choisir une base formée d'une fonction paire et d'une fonction impaire. C'est une base naturelle du point de vue de la symétrie de parité mais ce choix est arbitraire du simple point vue de l'hamiltonien: on pourrait tout aussi bien choisir n'importe quelle base de l'espace propre de dimension deux.

Il est souvent intéressant de considérer des bases de vecteurs propres compatibles avec une symétrie quand on déforme un système en préservant la symétrie. Une déformation aura tendance à supprimer les dégénérescences: un espace propre pour une valeur propre du système original va se décomposer en plusieurs espaces propres correspondant à plusieurs valeurs propres du système perturbé. Si la déformation préserve la symétrie, cette décomposition va se faire de manière compatible avec la symétrie.

Par exemple, pour un potentiel pair composé de deux puits séparés par une barrière très haute mais pas infinie, les valeurs propres sont non-dégénérées et donc les vecteurs propres sont des fonctions paires ou impaires. On peut montrer que l'état fondamental est une fonction paire et que le premier état excité est une fonction impaire (voir l'analogue mécanique de LPFR). La différence entre les énergies de ces deux états est exponentiellement petite en la hauteur du potentiel (car due à un effet tunnel entre les deux puits). Dans la limite où les puits deviennent infinis, ces deux états coïncident et l'état fondamental devient dégénéré.

Pour la question concrète: on a clairement par symétrie que \phi_g(x)=\phi_d(-x) donc A=B correspond à une combinaison paire et A=-B correspond à une combinaison impaire.

[invitefee2e751]

Bonjour, merci beaucoup pour votre réponse je ne connaissais pas du tout la théorie derrière le Hamiltonien, je pense que j'ai pas encore le niveau en maths pour tout comprendre parfaitement mais c'est quand même intéressant de voir ce qu'il y a derrière