Fuite de gaz s'une enceinte dans une autre

[invite156cfd77]

Bonjour,

Je bloque sur un problème que je me suis imaginé :

Je souhaite calculer la concentration d'un gaz dans deux enceintes A et B (la A contenant la B). Sachant que l'enceinte B fuit légèrement dans la A mais que le gaz en question est produit de manière constante dans B.

Je pars de 0, j'ai supposé, pour l'enceinte A :

Pa, Va, T,na
Avec Pa la pression partielle du gaz dans A, na le nombre de mole du gaz dans A et Va le volume de A.

De même pour B:
Pb,Vb,T,nb

C'est le taux de fuite de A vers B qui me pose problème, je me représente la chose en m^3/s. Quelque chose comme :
Q = S × v
La section de fuite S étant une donnée du problème et v la vitesse du gaz au niveau de la fuite.

Je reviendrai dessus ultérieurement.

j'ai posé deux équations différentielles :
dna/dt = K - Q×Ca
dnb/dt = Q×Ca

Avec K en moles/s le terme de production et Ca la concentration de gaz dans l'enceinte A en moles/m^3: Ca = na/Va
dna/dt = K - Q×na/va
dnb/dt = Q×na/va

Ca semble ok jusque là, mais cela ne semble pas dépendre des pressions dans A et B, ce qui est gênant. Evidemment, Q dépends des pressions.
C'est ce que je souhaiterais faire apparaître, j'ai pensé au théorème de Bernouill, mais je bloque.

D'où les questions suivantes, comment s'exprime le taux de fuite en fonction des pressions et données géométrique du problème ? Comment s'exprime la concentration (ou la quantité) de gaz dans les enceintes A et B en fonction du temps ? (j'entre aperçois un système d'équations différentielles non linéaires).

Merci d'avance pour votre aide !
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[invite6dffde4c]

Bonjour.
Il faudrait connaître le mélange des gaz de chaque côté, et la raison de la fuite.
Si c’est un problème de diffusion, alors il faut tenir compte de la diffusion de tous les gaz et dans chaque direction (ou, ce qui revient au même, en utilisant la différence de concentration de chaque espèce) et de la variation des concentrations dues à la diffusion.

Si c’est une problème de fuite « ordinaire » due à un trou ou une fente entre els deux récipients, alors c’est le mélange entier qui va passer de l’endroit où la pression est plus grande vers l’endroit ou elle est plus petite. Par exemple, si vous ouvrez légèrement une bouteille d’azote à 200 bars, c’est de l’azote qui sortira et l’oxygène de l’air ne rentrera pas dans le bouteille (du moins pas dans des proportions qui méritent qu’on en parle), même si la pression partielle d’oxygène est plus grande dans l’air que dans la bouteille.
Au revoir

[invite156cfd77]

Bonjour,

Je me plaçais plutôt dans un cadre général. Je m'imagine, peut être à tort, que la nature de ma fuite de va pas changer les unités de mon débit de fuite, et que ce dernier dépendra toujours de la différence de pressions.

Mais soit, pour l'exemple: Supposons que le gaz d'intérêt soit du H2 dilué dans de l'air (O2, N2), susceptible de traverser la paroi de l'enceinte B par perméation.

Le sens de fuite m'importe peu, puisqu'il est fixé par la différence de pression et que ma question porte justement sur le fait d'introduire les pressions dans mes équations (ou, dis autrement, d'exprimer le débit de fuite en fonctions de la différence de pressions partielles). Là encore pour l'exemple, supposons que l'enceinte B soit en surpression par rapport à la A.

Évitons, pour l'instant, le problème que vous soulevez (avec l'azote et l'air) en supposant que le débit est faible et n'empêche pas les autres gaz de passer, de toute manière dans cet exemple seul le H2 peut traverser la paroi par perméation. On pourra toujours regarder la problème de la fuite "ordinaire" d'une bouteille à 200 bars ultérieurement.

N'hésitez pas à me reprendre si nécessaire.

Merci,

[phys4]

Dans le cas d'une perméation à travers les parois, le problème peut se simplifier :
Q est proportionnel à la différence des pressions partielles, et le système se résout facilement à condition de bien l'écrire.

La production continue de gaz K est censée se faire dans le récipient intérieur B, or vous l'avez mise dans l'équation de A ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite156cfd77]

Exact, je me suis trompé, du coup c'est :
dna/dt = Q×na/Va
dnb/dt = K-Q×na/Va = K-dna/dt

Effectivement, je me l'imaginais un peu comme ça, mais de fait si Q est proportionnel à et que l'enceinte B se vide dans la A alors, diminue au cours du temps : ce qui doit donner un truc du genre :





Avec C un coefficient de perméabilité propre au matériau délimitant les enceintes (en m^3/Pa/s ?)

D'où :



Ce qui me semble difficile à résoudre,

[invite156cfd77]

Je peux remplacer par :


mais il me reste une équation différentielle non linéaire.

[phys4]

Exact, je me suis trompé, du coup c'est :
dna/dt = Q×na/Va
dnb/dt = K-Q×na/Va = K-dna/dt

Effectivement, je me l'imaginais un peu comme ça, mais de fait si Q est proportionnel à et que l'enceinte B se vide dans la A alors, diminue au cours du temps : ce qui doit donner un truc du genre :

Vous faites intervenir deux fois la densité, il suffit d'écrire :
dna/dt = Q
dnb/dt = K-Q= K-dna/dt
avec

Les équations resteront du premier degré et probablement solubles.

[invite156cfd77]

Ah...Bah oui..., merci

Du coup, pour être homogène il faut que la constante C soit en mol/Pa/s. Est-ce une grandeur qui se mesure effectivement ?

En cherchant un peu sur internet :http://www.formules-physique.com/categorie/1169
J'ai l'impression qu'on a plutôt des m^3/s pour Q d'où la démarche sur laquelle j'étais parti.