Point obscur cours méca quantique

[Coccinelleamoustaches]

Bonjour,

Il y a un moment, j'avais demandé ici un cours pour m'instruire en mq à partir de rien. Par manque de temps, je viens seulement de m'y mettre.

J'ai une première question sur un point du cours que je ne comprends pas. Je mets le lien ici :
http://www.phys.ens.fr/~dalibard/Not.../X_MQ_2003.pdf

Page 49, paragraphe 5.2
Après avoir posé la relation (2.38) (qu'on se contente d’admettre pour l'instant), l'auteur propose un calcul d'ordres de grandeur qui me paraît très intéressant. Malheureusement, je ne comprends pas ce qu'il fait, et j'ai l'impression qu'il utilise des grandeurs de manière très acrobatique... Mais c'est un prof de l'X, il sait sans doute ce qu'il fait.
Je comprends bien la logique qui le pousse à considérer ∆x ~ r_0 et donc ∆p ~ h/r_0. Seulement, après, c'est un peu moins clair, et j'ai l'impression qu'il assimile ∆p à p...
Mais le plus troublant pour moi, c'est la suite, où il pose que : "L’energie cinetique moyenne d’un nucleon est Ec = ∆p^2/2m" (approximation non relativiste). Pour moi, le ∆p n'a rien à faire là, et Ec = p^2/2m, avec p valeur moyenne (il a d'ailleurs lui-même utilisé cette relation plus haut dans le cours avant même de parler de relations d'incertitudes)
La suite du raisonnement paraît un peu à la va-vite également, mais ça me trouble moins.
En fait j'ai l'impression qu'il switche indifféremment p pour ∆p, ce que je ne comprends pas du tout, puisqu'il n'a pas glissé un mot à ce propos (ou alors j'ai raté un truc)

Paragraphe suivant, en examinant la stabilité de la matière par des arguments très similaires, il conclut en disant "l'argument ci-dessus n'est pas rigoureux". Est-ce que cela fait écho à ce que je soulève ? Ou alors j'ai rien compris ,

Un peu d'aide ?
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[Amanuensis]

Je comprends bien la logique qui le pousse à considérer ∆x ~ r_0 et donc ∆p ~ h/r_0. Seulement, après, c'est un peu moins clair, et j'ai l'impression qu'il assimile ∆p à p...

Mon interprétation immédiate est que c'est dû au choix (tacite) de référentiel, celui-ci étant choisi tel que p est en moyenne nulle (i.e., que la sphère de rayon r0 est immobile). Δp désigne la différence avec la moyenne, et est donc égale à p dans ce référentiel. C'est aussi ce qui permet de parler de Δx sans préciser, puisque si le référentiel était choisi tel qu'il y a déplacement, faudrait préciser que c'est x(t)-tv.

[Coccinelleamoustaches]

ahhh...
D'accord, ça pourrait expliquer...
Mais dans ce cas, ça souligne qu'une particule ayant un p nul en moyenne peut quand même avoir une énergie cinétique non nulle (dûe à "l'agitation statistique" de la particule, en quelque sorte). Dans ce cas, la relation que je proposais pour l'énergie cinétique moyenne : "Ec = p^2/2m, avec p valeur moyenne" est archi-fausse (et maintenant que j'y réfléchis, c'est vrai que mathématiquement, ça tient pas le choc du tout !). Cependant, il me semble qu'il avait utilisé une relation similaire, plus tôt dans le cours... Je tâcherai de retrouver ça et je repasserai

[Amanuensis]

Sauf que le γ de la formule est juste «de l'ordre de 1», et donc on n'a pas besoin d'être précis sur le facteur constant dans l'expression de l'énergie moyenne. le 1/2 du classique permet de se raccrocher à quelque chose de connu sans s'occuper de la statistique exacte. On ne fait que supposer que la statistique exacte donnera une moyenne égale à un petit facteur fois l'énergie cinétique classique, petit facteur qui rentrera dans le γ. Non?

ais dans ce cas, ça souligne qu'une particule ayant un p nul en moyenne peut quand même avoir une énergie cinétique non nulle

Quant à ça, c'est tout ce qu'il y a de plus classique: p est une grandeur vectorielle et p² un scalaire positif. Une distribution isotrope de p donnera toujours une moyenne (vectorielle) nulle de p.

[A voir en vidéo sur Futura]

[jacknicklaus]

Par définition (∆p)² = <p²> - <p>²

Or <p> = 0, on peut donc assimiler (∆p)² = <p²> = valeur moyenne de p²

[Coccinelleamoustaches]

Oui, bien compris jack. Le point qui posait problème c'est que le choix de référentiel tel que <p>=0 était implicite et je ne l'avais pas pigé.

[Coccinelleamoustaches]

Alors, je vais approfondir un peu la question :
À la fin du chapitre, p.54, il y a 4 exos d'application. Les trois premiers sont bien passés, mais je bloque un peu sur la deuxième question de l'exo 4.
Il s'agit de déterminer l'énergie et la taille d'une particule au niveau fondamental dans un potentiel.
Pour le potentiel quadratique, pas de souci. Avec des considérations très semblables à celles qu'on a discuté (je me place dans le réf. de la particule avec <p>=0 et<x>=0) je trouve des résultats que je pense justes puisque tout se simplifie comme par magie (je trouve Δx~(h/(mw))^(1/2) et <E>~hw. Ca sent l'exo fait pour que ça tombe juste ^^)

Par contre pour le potentiel linéaire, argh, problème. Je ne peux pas me servir directement de ce qu'on a dit sur la moyenne des carrés égale à Δx, puisque qu'ici on a une moyenne linéaire qui intervient dans l'équation. Tout ce que j'ai réussi à faire c'est majorer l'énergie par une expression Emax. Je peux effectivement trouver le minimum de Emax (le niveau fondamental correspond au minimum d'énergie), mais rien ne dit que ce soit aussi le minimum de E ! Je joins une feuille qui résume les grandes lignes du calcul pour cette deuxième partie (parce que je ne sais toujours pas mettre des formules dans ce forum)

[Coccinelleamoustaches]

la moyenne des carrés égale à Δx

à Δx^2

Voilà le fichier

[Coccinelleamoustaches]

Un p'tit coup de main svp

Ce forum regorge d'experts pour qui ce genre d'exos d'application doit être une formalité ^^

[Coccinelleamoustaches]

[Deedee81]

Salut,

Patience, c'est les vacances et il y a aussi une question de temps (comme je poste au boulot, j'ai rarement le temps de me pencher plus que deux trois minutes sur une question.... trop peu ici).

[Coccinelleamoustaches]

Oui, je ne suis d'ailleurs pas excessivement pressé ^^ Mais le problème me chiffone un peu et j'avais peur de ne jamais avoir de réponse en laissant le sujet s'engloutir...

[Resartus]

Bonjour,
Je ne pense pas qu'il faille chercher aussi loin. L'énergie trouvée n'est sans doute pas un minimum (il faudrait résoudre exactement pour le savoir, ce qui est peut-être fait plus loin dans le livre?)), mais la méthode approximative utilisée
(qui se base sur une inégalité elle-même approximative) permet de donner un bon ordre de grandeur.

Dans l'exercice quadratique précédent, on voit d'ailleurs que cette méthode donnait un résultat deux fois trop grand...

[Coccinelleamoustaches]

Merci pour ta réponse Résartus.
Mais j'avoue que je ne l'ai pas très bien comprise. Tu serais donc d'avis de dire que l'inégalité que j'ai utilisée doit être vue comme une approximation et qu'on a E~Emax ? Et que du coup, les résultats trouvés sur Emax, quoi qu’approximatifs, restent valables en principe ?
J'ai bien compris que les calculs ne pouvaient aboutir qu'à un ordre de grandeur approximatif ici. Mais même je n'arrive même pas à conclure approximativement :
Ce qui me dérangeait c'est surtout pour conclure sur le delta_x... Parce que j'obtiens un delata_x qui minimise Emax mais rien ne garantit que ce minimum de Emax ressemble de près ou de loin à un minimum pour E. Je joins une magnifique vue d'artiste illustrant un cas possible où le minimum du majorant Emax peut être très différent du minimum de E :



Dans ce cas là, on voit bien qu'il n'est a priori pas possible de conclure (même approximativement) sur le minimum de E à partir du minimum de son majorant Emax...