Composantes de Fourier

[toufik94]

bonsoir
S'ils vous plait comment on développe ces deux expressions ( E,P) selon leurs différentes composantes de Fourier
merci à vous
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[LPFR]

Bonjour.
Peut-être que la raison pour laquelle personne ne vous a répondu est que la réponse n’a besoin d’aucun calcul.
Les deux expressions ont une seule composante aux pulsations ω_m et ω_p respectivement.

Une observation : dans la deuxième la formule, n’est pas le vecteur d’onde, mais le « nombre d’onde ». Vous ne pouvez pas avoir des vecteurs dans les arguments des fonctions comme le sinus ou le log ou l’exponentielle. Si on veut utiliser le vecteur d’onde, il faudrait écrire le terme comme qui donne un scalaire.
Au revoir.

[toufik94]

alors comment trouver la seule composantes de Fourier?
merci

[geometrodynamics_of_QFT]

Une "composante" est une des fréquences du spectre qui entrent dans la décomposition de la fonction de départ en une série de Fourier (une somme de sinusoïdales).

Mais justement ici, la fonction de départ est elle-même une sinusoïdale (Par la formule d'Euler, une exponentielle complexe peut s'écrire comme cos + isin).
Donc, sa décomposition en Série de fourier ne donnera qu'un seul terme (elle s'approximera par une série de sinusoïdales mais se réduisant ici à une seule sinuosoïdale : celle à la fréquence

Donc la transformée ne comprendra qu'un seul delta de Dirac (la seule composante), à la fréquence

Pour l'aspect calculatoire, il y a deux façons :
- soit connaître directement (ou utiliser une table) la transformée d'une exponentielle complexe (en gros, écrire directement les 2 deltas de Dirac)
- soit utiliser la formule d'Euler et utiliser la formule générale de la transformée de Fourier pour calculer explicitement le résultat.

On voit aussi depuis la définition, qu'en remplaçant f(x) par l'expression que vous avez fournie (en changeant x par t et par ), que les arguments de l'exponentielle complexe faisant intervenir t (ou ) s'annulent. Il ne reste qu'un facteur 1 à transformer (on peut sortir l'exponentielle ne faisant pas intervenir la variable d'intégration, ici x (ou t), de l'intégrale).
De cette table (formule 301), à la colonne "fréquence angulaire", on voit que cela donne .

J'espère que je ne me trompe pas -___-'

[A voir en vidéo sur Futura]